Який об єм має конус, якщо через вершину та хорду проведена площина, яка утворює з площиною основи кут 60°, а хорда

Подібно до попередньої задачі, нам потрібно знайти об"єм конуса. Тут нам дано, що через вершину та хорду проведена площина, яка утворює з площиною основи кут 60°, а хорда дорівнює радіусу основи й віддалена від центра основи на відстань h.

Для розуміння цієї задачі, ми можемо розділити конус на дві частини: верхню частину (конус-корону) та нижню частину (невеликий конус). Також, ми можемо використовувати подібні трикутники з площиною основи для знаходження геометричних відношень.

Давайте позначимо r - радіус основи конуса, R - радіус описаного кола конуса (також рівний хорді), h - відстань від центра основи до хорди, та V - об"єм конуса.

1. Знайдіть висоту невеликого конуса:
Оскільки хорда дорівнює радіусу основи, ми маємо правильний трикутник з кутом 60° при основі. Оскільки кути в правильному трикутнику рівні, ми можемо розділити трикутник на два рівні напівкути. Тоді ми можемо застосувати теорему Піфагора:

\[h = \sqrt{r^2 - \left(\frac{r}{2}\right)^2}\]
\[h = \sqrt{r^2 - \frac{r^2}{4}}\]
\[h = \sqrt{\frac{3r^2}{4}}\]
\[h = \frac{\sqrt{3}}{2}r\]

2. Знайдіть висоту конуса-корони:
Це можна зробити віднімаючи висоту невеликого конуса з висоти великого конуса:
\[H = r - h\]
\[H = r - \frac{\sqrt{3}}{2}r\]
\[H = \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)r\]

3. Знайдіть об"єм невеликого конуса:
Об"єм конуса можна виразити за формулою:
\[V_1 = \frac{1}{3}\pi (r)^2h\]
\[V_1 = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{r}{2}\right)^2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}r\right)\]
\[V_1 = \frac{\sqrt{3}}{12}\pi r^3\]

4. Знайдіть об"єм конуса-корони:
Об"єм можна виразити за формулою:
\[V_2 = \frac{1}{3}\pi R^2H\]
\[V_2 = \frac{1}{3}\pi \left(r^2 - \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2r^2\right)\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)r\]
\[V_2 = \frac{1}{3}\pi \left(1 - \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\right)r^3\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\]

5. Знайдіть загальний об"єм конуса:
Загальний об"єм буде сумою об"єму невеликого конуса та об"єму конуса-корони:
\[V = V_1 + V_2\]
\[V = \frac{\sqrt{3}}{12}\pi r^3 + \frac{1}{3}\pi \left(1 - \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\right)r^3\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\]

Отже, об"єм конуса буде \(\frac{\sqrt{3}}{12}\pi r^3 + \frac{1}{3}\pi \left(1 - \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\right)r^3\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\).