Який кут нахилу твірної конуса до площини його основи, якщо площа повної поверхні конуса становить 108п см^2, а його

Для решения данной задачи, нам необходимо знать, как связаны площадь боковой поверхности конуса и угол наклона его образующей (твірної) к плоскости его основания. Давайте воспользуемся соотношением между этими величинами.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:
\[S_\text{бок} = \pi r l,\]
где \(S_\text{бок}\) - площадь боковой поверхности конуса, \(\pi\) - математическая константа, приближенно равная 3,14 (пи), \(r\) - радиус основания конуса, \(l\) - образующая конуса.

Так как у нас задана площадь повной поверхности конуса, то мы можем найти ее по формуле:
\[S_\text{полн} = \pi r l + \pi r^2,\]
где \(S_\text{полн}\) - площадь полной поверхности конуса.

Из условия задачи известно, что \(S_\text{полн} = 108\pi\) см\(^2\) и \(l = 6\sqrt{и}\) (где и - неизвестное). Подставим эти значения в формулу для \(S_\text{полн}\):
\[108\pi = \pi r (6\sqrt{и}) + \pi r^2.\]

Далее, давайте разложим это уравнение на два уравнения, учитывая, что \(r \cdot l = r \cdot 6\sqrt{и} = 6r\sqrt{и}\) и \(r^2 = r \cdot r\):
\[108\pi = 6\pi r \sqrt{и} + \pi r^2.\]

Так как образующая \(l = 6\sqrt{и}\), мы можем заменить \(6r\sqrt{и}\) в уравнении на \(l\):
\[108\pi = \pi r l + \pi r^2.\]

Теперь, чтобы продолжить решение, нам необходимо исключить неизвестное \(r\) из этого уравнения. Для этого воспользуемся известным соотношением между радиусом \(r\), образующей \(l\) и углом наклона образующей \(\theta\):
\[r = l \cdot \sin(\theta),\]
где \(\theta\) - искомый угол наклона образующей.

Подставив это значние в уравнение, мы получим:
\[108\pi = \pi (l \cdot \sin(\theta)) \cdot l + \pi (l \cdot \sin(\theta))^2.\]

Упростим это уравнение:
\[108\pi = \pi l^2 \sin(\theta) + \pi l^2 \sin^2(\theta).\]

Так как \(\pi\) - константа, упростим уравнение, поделив его на \(\pi\):
\[108 = l^2 \sin(\theta) + l^2 \sin^2(\theta).\]

Теперь давайте решим это квадратное уравнение относительно \(\sin(\theta)\). После решения уравнения, мы получим два возможных значения для \(\sin(\theta)\). Мы должны взять только положительный корень, так как угол наклона не может быть отрицательным:
\[\sin(\theta) = \frac{-1+\sqrt{1+4\cdot 108}}{2\cdot 108}.\]

Найдем значение этого выражения и получим значение для \(\sin(\theta)\). Затем найдем значение самого угла наклона образующей \(\theta\) по формуле:
\[\theta = \arcsin(\sin(\theta)).\]

Теперь мы можем использовать калькулятор для нахождения приближенного значения угла \(\theta\) в радианах или градусах.

Таким образом, после всех этих вычислений мы найдем угол наклона образующей конуса \(\theta\) до плоскости его основания. В нашем решении мы использовали формулы и математические преобразования, чтобы пошагово вывести все значения и получить окончательный ответ.