Який є кут між діагоналлю куба і площиною його основи, якщо довжина ребра куба дорівнює 16 метрам?

Чтобы найти угол между диагональю куба и плоскостью его основания, нам необходимо использовать геометрические соотношения куба. Дано, что длина ребра куба равна 16 метрам.

Куб состоит из шести квадратных граней, и каждая диагональ грани будет являться диагональю прямоугольного треугольника. Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения диагонали грани куба.

Для прямоугольного треугольника с катетами \(a\) и \(b\) и гипотенузой \(c\) теорема Пифагора гласит:
\[c^2 = a^2 + b^2\]

Так как все грани куба квадратные и равные по размеру, у нас будет прямоугольный треугольник с катетами \(16\) и \(16\). Нам нужно найти гипотенузу этого треугольника, которая будет являться диагональю грани куба.

Используя теорему Пифагора:
\[c^2 = 16^2 + 16^2 = 256 + 256 = 512\]
\[c = \sqrt{512} \approx 22.63\]

Теперь, когда у нас есть гипотенуза прямоугольного треугольника, мы должны найти угол между диагональю куба и плоскостью его основания. Для этого нам понадобится тригонометрия.

Угол между диагональю и плоскостью основания можно найти с помощью тангенса этого угла. Возьмем отношение противоположного катета к прилежащему:
\[\tan(\theta) = \frac{{\text{противоположный катет}}}{{\text{прилежащий катет}}}\]

В нашем случае, противоположный катет - это длина диагонали грани куба, а прилежащий катет - длина ребра куба. Подставим значения:
\[\tan(\theta) = \frac{{22.63}}{{16}} \approx 1.414\]

Теперь, чтобы найти сам угол \(\theta\), возьмем арктангенс полученного значения:
\[\theta = \arctan(1.414) \approx 54.74^\circ\]

Таким образом, угол между диагональю куба и плоскостью его основания составляет около \(54.74^\circ\).