Каков косинус угла между векторами b = 6m - n и c = m + 3n, при условии, что вектор m перпендикулярен вектору n и длина

Давайте рассмотрим данную задачу. У нас есть два вектора: \( b = 6m - n \) и \( c = m + 3n \). Нам нужно найти косинус угла между ними.

Для начала, давайте найдем длины этих векторов. Длина вектора обозначается как модуль или абсолютное значение этого вектора. Мы знаем, что вектор m перпендикулярен вектору n и имеет ту же длину, поэтому длина вектора m будет равна длине вектора n.

Пусть длина вектора m (или n) равна \( d \). Тогда длина векторов b и c также будет равна \( d \).

Теперь мы можем найти косинус угла между векторами b и c, используя их скалярное произведение и длины векторов:

\[ \cos(\theta) = \frac{{b \cdot c}}{{\|b\| \cdot \|c\|}} \]

где \( b \cdot c \) - скалярное произведение векторов b и c, а \( \|b\| \) и \( \|c\| \) - их длины, соответственно.

Теперь, чтобы найти косинус угла, нам нужно найти значения \( b \cdot c \), \( \|b\| \) и \( \|c\| \).

Подставим значения векторов b и c и проведем необходимые вычисления:

\[ b \cdot c = (6m - n) \cdot (m + 3n) \]

\[ = 6m \cdot m + 6m \cdot 3n - n \cdot m - n \cdot 3n \]

Теперь посчитаем скалярное произведение между векторами m и n, которые перпендикулярны друг другу и имеют одинаковую длину:

\[ m \cdot n = \|m\| \cdot \|n\| \cdot \cos(90^\circ) = d \cdot d \cdot 0 = 0 \]

Таким образом, \( m \cdot m = \|m\|^2 = d^2 \) и \( n \cdot n = \|n\|^2 = d^2 \).

Возвращаясь к выражению для \( b \cdot c \):

\[ b \cdot c = 6m \cdot m - n \cdot m + 18m \cdot n - 3n \cdot n \]

\[ = 6d^2 - 0 + 18(0) - 3d^2 \]

\[ = 6d^2 - 3d^2 \]

\[ = 3d^2 \]

Теперь нам нужно найти значения для \( \|b\| \) и \( \|c\| \):

\[ \|b\| = \|6m - n\| = \sqrt{(6d)^2 + (-d)^2} = \sqrt{36d^2 + d^2} = \sqrt{37d^2} = \sqrt{37} \cdot d \]

\[ \|c\| = \|m + 3n\| = \sqrt{(d)^2 + (3d)^2} = \sqrt{d^2 + 9d^2} = \sqrt{10d^2} = \sqrt{10} \cdot d \]

Подставим значения \( b \cdot c \), \( \|b\| \) и \( \|c\| \) в выражение для косинуса угла:

\[ \cos(\theta) = \frac{{3d^2}}{{\sqrt{37} \cdot d \cdot \sqrt{10} \cdot d}} \]

\[ = \frac{{3d^2}}{{\sqrt{37} \cdot \sqrt{10} \cdot d^2}} \]

\[ = \frac{{3}}{{\sqrt{37} \cdot \sqrt{10}}} \]

Таким образом, косинус угла между векторами b и c равен \( \frac{{3}}{{\sqrt{37} \cdot \sqrt{10}}} \).