Якими будуть координати центра кола та його радіус, якщо коло проходить через точку А (-3, 6) і касає пряму у=-2х

Для решения данной задачи, нам понадобится использование двух фактов о круге. Во-первых, любой круг описывается уравнением вида \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\), где \((a, b)\) - координаты центра круга, а \(r\) - его радиус. Во-вторых, если прямая касается круга в точке \(P\) и продолжается через эту точку, то радиус круга будет перпендикулярен касательной линии в точке касания.

Итак, у нас есть точка касания на прямой \(y = -2x\) и точка прохождения круга через точку \(A(-3, 6)\). Для начала найдем уравнение касательной линии в точке касания.

Чтобы найти уравнение касательной к прямой, нам понадобятся производные. Производная функции \(y = -2x\) будет равна \(-2\). Так как касательная линия будет перпендикулярна этой прямой, ее угловой коэффициент будет обратным и противоположным знаку: \(m = \frac{1}{2}\).

Теперь, используя найденное значение углового коэффициента и координаты точки касания \(P\), мы можем записать уравнение касательной \(y = \frac{1}{2}x + b\). Чтобы найти значение \(b\), подставим координаты точки \((x, y)\) и получим \(6 = \frac{1}{2}(-3) + b\). Решая это уравнение, мы найдем \(b = 7.5\).

Таким образом, уравнение касательной линии будет \(y = \frac{1}{2}x + 7.5\).

Теперь найдем координаты центра и радиус круга. Поскольку радиус перпендикулярен касательной линии, он будет проходить через середину отрезка между центром круга и точкой касания.

Точка середины отрезка между центром круга и точкой касания будет иметь координаты \((-3 + a)/2\) и \((6 + b)/2\), где \(a\) и \(b\) - координаты центра круга.

Теперь, чтобы найти радиус круга, нам нужно найти расстояние между точками \((-3, 6)\) и \((-3 + a)/2, (6 + b)/2\). Расстояние между двумя точками вычисляется по формуле:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

Подставим координаты точек и получим:

\[r = \sqrt{((-3 + a)/2 + 3)^2 + ((6 + b)/2 - 6)^2}\]

Теперь, чтобы найти значения \(a\) и \(b\), которые являются координатами центра круга, нам нужно решить систему уравнений, которую мы получили из уравнения касательной линии и радиуса круга.

Резюмируя все шаги:
1. Найдите уравнение касательной к прямой \(y = -2x\) в точке касания.
2. Найдите точку середины отрезка между точкой касания и центром круга.
3. Найдите радиус круга, используя найденные координаты.
4. Составьте систему уравнений из уравнения для касательной и радиуса круга.
5. Решите систему уравнений, чтобы найти значения для \(a\) и \(b\), координаты центра круга.
6. Подставьте найденные значения \(a\) и \(b\) в уравнение для радиуса, чтобы найти его значение \(r\).

Пожалуйста, прочтите инструкции и выполните указанные шаги в вашем решении. Если у вас возникнут трудности или у вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, сообщите мне. Я всегда готов помочь вам!