Яким є відношення площ їх поверхонь, якщо об єми двох куль відносяться як 27:125?

Для решения этой задачи, нам необходимо знать формулы для нахождения объема и площади поверхности сферы.

Формула для объема сферы:
\[V = \frac{4}{3} \pi r^3\]

Формула для площади поверхности сферы:
\[S = 4 \pi r^2\]

Где \(V\) - объем сферы, \(S\) - площадь поверхности сферы и \(r\) - радиус сферы.

Дано, что отношение объемов двух сфер составляет 27:125. Мы можем записать это следующим образом:

\[\frac{V_1}{V_2} = \frac{27}{125}\]

Используя формулу для объема сферы, мы можем записать это отношение следующим образом:

\[\frac{\frac{4}{3} \pi r_1^3}{\frac{4}{3} \pi r_2^3} = \frac{27}{125}\]

Здесь \(r_1\) и \(r_2\) - радиусы первой и второй сфер соответственно.

Теперь мы можем сократить обе стороны уравнения на \(\frac{4}{3} \pi\) и упростить выражение:

\[\frac{r_1^3}{r_2^3} = \frac{27}{125}\]

Чтобы найти отношение площадей поверхностей, мы можем использовать формулу для площади поверхности сферы:

\[\frac{S_1}{S_2} = \frac{4 \pi r_1^2}{4 \pi r_2^2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}\]

Таким образом, мы должны найти отношение радиусов сфер, чтобы найти отношение площадей поверхностей.

Вернемся к уравнению:
\[\frac{r_1^3}{r_2^3} = \frac{27}{125}\]

Теперь возьмем кубический корень от обеих сторон уравнения:

\[\sqrt[3]{\frac{r_1^3}{r_2^3}} = \sqrt[3]{\frac{27}{125}}\]

После упрощения мы получим:

\[\frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{5}\]

Теперь мы можем использовать это отношение для нахождения отношения площадей поверхностей:

\[\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}\]

Таким образом, отношение площадей поверхностей двух сфер равно 9:25.