Яким є радіус кола, яке вписане в ромб з площею 98 см і кутом при вершині 150°?

Чтобы найти радиус вписанного круга в ромб, необходимо использовать следующие свойства геометрии. Во-первых, внутренний угол между сторонами ромба, касающимися окружности, равен половине центрального угла, образованного этими сторонами. Во-вторых, внутренний угол между радиусом и хордой окружности, создаваемой этим углом, равен половине центрального угла, образованного этой хордой.

Теперь рассмотрим данную задачу более подробно:

1. Имеем ромб с площадью 98 см² и углом при вершине 150°. Раз площадь ромба равна 98 см², то продолжим, предположив, что сторона ромба равна $a$ см.

2. Поскольку ромб - это фигура с равными диагоналями, каждая диагональ делит ромб на два равных равнобедренных треугольника.

3. Раз мы имеем равнобедренные треугольники, то угол при вершине 150° делит треугольник на два равных угла по 15° каждый.

4. Зміряем катет $h$ правильного треугольника, созданного этим углом $15°$. Проекция базы $b$ составит половину стороны ромба ${\displaystyle \frac{a}{2}}$, и формула для измерения катета составит $h={\displaystyle \frac{b}{\tan 15°}}$. Таким образом, $h={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{a}{2}}}{\tan 15°}}$

5. Мы знаем, что радиус окружности вписанной в треугольник равен высоте, опущенной на его основание. Поэтому радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, равен катету $h$, который мы только что нашли.

6. Таким образом, чтобы найти радиус $r$ окружности, вписанной в ромб, нам нужно заменить $h$ в уравнении радиуса равнобедренного треугольника соответствующим значением: $r={\displaystyle \frac{a}{2\tan 15°}}$.

Используем эту формулу, чтобы найти значение радиуса. Подставим значение $\tan 15°\approx 0.2679$ (его можно найти в таблице тригонометрических значений или на калькуляторе) вместе с площадью ромба 98 см²:

$$r={\displaystyle \frac{a}{2\cdot 0.2679}}$$

$$98={\displaystyle \frac{a}{2\cdot 0.2679}}$$

Теперь решим это уравнение и найдем значение $a$:

$$a=2\cdot 0.2679\cdot 98$$

$$a\approx 52.65$$

Теперь, когда у нас есть значение $a$, мы можем найти радиус $r$:

$$r={\displaystyle \frac{52.65}{2\cdot 0.2679}}$$

$$r\approx 98.14$$

Таким образом, радиус круга, вписанного в данный ромб, приближенно равен 98.14 см.