Яким є радіус кола, яке вписане в ромб з площею 98 см і кутом при вершині 150°?

Чтобы найти радиус вписанного круга в ромб, необходимо использовать следующие свойства геометрии. Во-первых, внутренний угол между сторонами ромба, касающимися окружности, равен половине центрального угла, образованного этими сторонами. Во-вторых, внутренний угол между радиусом и хордой окружности, создаваемой этим углом, равен половине центрального угла, образованного этой хордой.

Теперь рассмотрим данную задачу более подробно:

1. Имеем ромб с площадью 98 см² и углом при вершине 150°. Раз площадь ромба равна 98 см², то продолжим, предположив, что сторона ромба равна \( a \) см.

2. Поскольку ромб - это фигура с равными диагоналями, каждая диагональ делит ромб на два равных равнобедренных треугольника.

3. Раз мы имеем равнобедренные треугольники, то угол при вершине 150° делит треугольник на два равных угла по 15° каждый.

4. Зміряем катет \( h \) правильного треугольника, созданного этим углом \( 15° \). Проекция базы \( b \) составит половину стороны ромба \( \dfrac {a}{2} \), и формула для измерения катета составит \( h = \dfrac {b}{\tan 15°} \). Таким образом, \( h = \dfrac{\dfrac {a}{2}} {\tan 15°}\)

5. Мы знаем, что радиус окружности вписанной в треугольник равен высоте, опущенной на его основание. Поэтому радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, равен катету \( h \), который мы только что нашли.

6. Таким образом, чтобы найти радиус \( r \) окружности, вписанной в ромб, нам нужно заменить \( h \) в уравнении радиуса равнобедренного треугольника соответствующим значением: \( r = \dfrac{a}{2 \tan 15°} \).

Используем эту формулу, чтобы найти значение радиуса. Подставим значение \( \tan 15° \approx 0.2679 \) (его можно найти в таблице тригонометрических значений или на калькуляторе) вместе с площадью ромба 98 см²:

\[ r = \dfrac{a}{2 \cdot 0.2679} \]

\[ 98 = \dfrac{a}{2 \cdot 0.2679} \]

Теперь решим это уравнение и найдем значение \( a \):

\[ a = 2 \cdot 0.2679 \cdot 98 \]

\[ a \approx 52.65 \]

Теперь, когда у нас есть значение \( a \), мы можем найти радиус \( r \):

\[ r = \dfrac{52.65}{2 \cdot 0.2679} \]

\[ r \approx 98.14 \]

Таким образом, радиус круга, вписанного в данный ромб, приближенно равен 98.14 см.