Яким є позитивним числом, при якому різниця між потроєним квадратом цього числа і кубом цього числа є максимальною?

Чтобы найти позитивное число, при котором разность между троенным квадратом этого числа и кубом этого числа будет максимальной, сначала нам нужно запишем формулу для данной разности. Пусть данное число обозначается как \(x\).

Квадрат числа \(x\) можно записать как \(x^2\), а его троенный квадрат как \(3x^2\).
Куб числа \(x\) записывается как \(x^3\).

Тогда, разность между троенным квадратом и кубом данного числа можно записать как:
\[3x^2 - x^3\]

Теперь нашей задачей становится максимизация этой разности. Чтобы найти максимальное значение, мы можем взять производную данной функции по \(x\) и приравнять ее к нулю. Таким образом, мы найдем точку экстремума.

Рассчитаем производную функции:
\(\frac{d}{dx}(3x^2 - x^3)\)

Раскроем скобки и продифференцируем каждый элемент:
\(\frac{d}{dx}(3x^2) - \frac{d}{dx}(x^3)\)

Производная квадрата \(3x^2\) равна:
\(6x\)

Производная куба \(x^3\) равна:
\(3x^2\)

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:
\(6x - 3x^2 = 0\)

Вынесем общий множитель \(3x\):
\(3x(2 - x) = 0\)

Таким образом, у нас есть два возможных значения для \(x\): \(x = 0\) или \(x = 2\).

Теперь, чтобы определить, при каком из этих значений разность будет максимальной, мы можем использовать вторую производную тестирования.

Вычислим вторую производную функции:
\(\frac{d^2}{dx^2}(3x^2 - x^3)\)

Продифференцируем производную первоначальной функции \(6x - 3x^2\):
\(\frac{d}{dx}(6x - 3x^2) = 6 - 6x\)

Теперь, подставим значения \(x = 0\) и \(x = 2\) во вторую производную.

При \(x = 0\), вторая производная равна:
\(6 - 6(0) = 6\)

При \(x = 2\), вторая производная равна:
\(6 - 6(2) = -6\)

Таким образом, мы видим, что при \(x = 2\), вторая производная функции отрицательна, что указывает на то, что у нас есть максимум. А при \(x = 0\), вторая производная положительная, что указывает на минимум.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что максимальное значение разности достигается при \(x = 2\).

Подставив это значение обратно в исходную формулу, мы можем найти эту разность:
\[3(2^2) - (2^3)\]
\[3(4) - 8\]
\[12 - 8\]
\[4\]

Таким образом, искомое позитивное число, при котором разность между троенным квадратом этого числа и кубом этого числа будет максимальной, равно 2, а данная разность равна 4.