1) Найдите расстояние от точки М (2020, 2021, 2030) до плоскости, на которой лежит треугольник с вершинами в точках

Конечно, я помогу с решением задачи!

1) Для начала давайте найдем нормальный вектор к плоскости, на которой лежит треугольник ABC. Мы можем сделать это, используя два вектора, лежащих на плоскости.

Вектор AB можно получить, вычитая координаты точки B из координат точки A:
\[ \overrightarrow{AB} = \begin{bmatrix} 1-2 \\ 3-1 \\ 0-0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} \]
Вектор AC можно получить, вычитая координаты точки C из координат точки A:
\[ \overrightarrow{AC} = \begin{bmatrix} 4-2 \\ 4-1 \\ 0-0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix} \]

Теперь найдем векторное произведение векторов AB и AC, чтобы получить нормальный вектор:
\[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix} \]

Вычислим векторное произведение:
\[ \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 0 - 3 \cdot 0) - \mathbf{j}(-1 \cdot 0 - 2 \cdot 0) + \mathbf{k}(-1 \cdot 3 - 2 \cdot 2) = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -7 \end{bmatrix} \]

Теперь у нас есть нормальный вектор плоскости. Давайте назовем его \(\overrightarrow{n}\).

Формула для нахождения расстояния между точкой и плоскостью это:
\[ d = \frac{{\left| \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AM} \right|}}{{\left| \overrightarrow{n} \right|}} \]

Теперь найдем вектор \(\overrightarrow{AM}\), вычитая координаты точки M из координат точки A:
\[ \overrightarrow{AM} = \begin{bmatrix} 2020-2 \\ 2021-1 \\ 2030-0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2018 \\ 2020 \\ 2030 \end{bmatrix} \]

Теперь подставим значения в формулу расстояния:
\[ d = \frac{{\left| \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -7 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2018 \\ 2020 \\ 2030 \end{bmatrix} \right|}}{{\left| \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -7 \end{bmatrix} \right|}} \]

Для вычисления этого выражения, мы сначала найдем скалярное произведение \(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AM}\):
\[ \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AM} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -7 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2018 \\ 2020 \\ 2030 \end{bmatrix} = 0 \cdot 2018 + 0 \cdot 2020 + (-7) \cdot 2030 = -14210 \]

Теперь рассчитаем модуль вектора \(\overrightarrow{n}\) и подставим значения в формулу расстояния:
\[ d = \frac{{\left| -14210 \right|}}{{\left| \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -7 \end{bmatrix} \right|}} \]

Для вычисления модуля вектора \(\overrightarrow{n}\):
\[ \left| \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -7 \end{bmatrix} \right| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-7)^2} = \sqrt{49} = 7 \]

Теперь вычислим расстояние:
\[ d = \frac{{\left| -14210 \right|}}{7} = \frac{14210}{7} \approx 2030 \]

Итак, расстояние от точки M(2020, 2021, 2030) до плоскости, на которой лежит треугольник ABC, составляет примерно 2030 единиц.

2) Для решения этой задачи также нужно найти нормальный вектор к плоскости, на которой лежит тетраэдр, и использовать формулу расстояния от точки до плоскости, аналогично первой задаче.

Точки А(3, 0, 1), B(-1, 4, 1) и C(5, 2, 1) образуют плоскость тетраэдра. Давайте найдем нормальный вектор этой плоскости, используя векторное произведение векторов AB и AC, подобно первой задаче.

Вектор AB:
\[ \overrightarrow{AB} = \begin{bmatrix} -1-3 \\ 4-0 \\ 1-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix} \]

Вектор AC:
\[ \overrightarrow{AC} = \begin{bmatrix} 5-3 \\ 2-0 \\ 1-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} \]

Теперь найдем векторное произведение AB и AC:
\[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{bmatrix} -4 \\ 4 \\ 0 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} \]

Вычислим векторное произведение:
\[ \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -4 & 4 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \ \end{vmatrix} = \mathbf{i}(4 \cdot 0 - 2 \cdot 0) - \mathbf{j}(-4 \cdot 0 - 2 \cdot 0) + \mathbf{k}(-4 \cdot 2 - 4 \cdot 2) = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -16 \end{bmatrix} \]

Теперь у нас есть нормальный вектор плоскости, давайте назовем его \(\overrightarrow{n}\).

Расстояние от вершины D до плоскости можно найти, используя формулу расстояния:
\[ d = \frac{{\left| \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AD} \right|}}{{\left| \overrightarrow{n} \right|}} \]

Теперь найдем вектор AD, вычитая координаты точки D из координат точки A:
\[ \overrightarrow{AD} = \begin{bmatrix} 3-4 \\ 0-1 \\ 1-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} \]

Теперь подставим значения в формулу расстояния:
\[ d = \frac{{\left| \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -16 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} \right|}}{{\left| \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -16 \end{bmatrix} \right|}} \]

Для вычисления этого выражения, мы сначала найдем скалярное произведение \(\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AD}\):
\[ \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AD} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -16 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} = 0 \cdot -1 + 0 \cdot -1 + (-16) \cdot 0 = 0 \]

Теперь рассчитаем модуль вектора \(\overrightarrow{n}\) и подставим значения в формулу расстояния:
\[ d = \frac{{\left| 0 \right|}}{{\left| \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -16 \end{bmatrix} \right|}} \]

Для вычисления модуля вектора \(\overrightarrow{n}\):
\[ \left| \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -16 \end{bmatrix} \right| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-16)^2} = \sqrt{256} = 16 \]

Теперь вычислим расстояние:
\[ d = \frac{{\left| 0 \right|}}{16} = 0 \]

Итак, расстояние от вершины D до плоскости, на которой лежит тетраэдр с вершинами A(3;0;1), B(-1;4;1), C(5;2;1), равно 0, так как вершина D лежит на этой плоскости.

Надеюсь, это подробное решение помогло! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.