Необходимо доказать, что все точки фигуры лежат в одной плоскости, если каждые четыре точки уже находятся в одной

Чтобы доказать, что все точки фигуры лежат в одной плоскости, необходимо использовать свойство, которое гласит, что если любые четыре точки находятся в одной плоскости, то все точки фигуры также находятся в той же плоскости.

Давайте обратимся к математической теории трехмерной геометрии и вспомним, что плоскость может быть определена через три неколлинеарные точки. Если три точки \(A, B\) и \(C\) лежат в одной плоскости, то мы можем сказать, что все точки этой плоскости могут быть представлены в виде \(\vec{P} = \vec{OA} + s\cdot\vec{AB} + t\cdot\vec{AC}\), где \(\vec{OA}\), \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) -- векторы, и \(s\) и \(t\) -- параметры.

Теперь, предположим, что для данной фигуры каждые четыре точки \(A, B, C\) и \(D\) уже находятся в одной плоскости. Возьмем произвольную пятую точку \(E\) фигуры и попытаемся выразить его положение в терминах трех точек \(\vec{A}\), \(\vec{B}\) и \(\vec{C}\). Пусть \(\vec{E} = \vec{OA} + s\cdot\vec{AB} + t\cdot\vec{AC}\).

Согласно нашей предпосылке, точки \(A, B\) и \(C\) уже находятся в одной плоскости. Таким образом, мы можем выразить вектор \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) через их проекции на эту плоскость, т.е. \(\vec{AB} = \vec{AB_0} + u\cdot\vec{n}\) и \(\vec{AC} = \vec{AC_0} + v\cdot\vec{n}\), где \(\vec{AB_0}\) и \(\vec{AC_0}\) -- проекции \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) на плоскость, а \(\vec{n}\) -- нормаль к этой плоскости.

Подставив эти выражения обратно в наше представление точки \(\vec{E}\), получим \(\vec{E} = \vec{OA} + s\cdot(\vec{AB_0} + u\cdot\vec{n}) + t\cdot(\vec{AC_0} + v\cdot\vec{n})\).

Затем раскроем скобки и сгруппируем слагаемые, чтобы получить \(\vec{E} = \vec{OA} + (s\cdot\vec{AB_0} + t\cdot\vec{AC_0}) + (s\cdot u + t\cdot v)\cdot\vec{n}\).

Как видите, получившаяся формула состоит из двух слагаемых, не содержащих \(\vec{n}\) и одного слагаемого с \(\vec{n}\). Первые два слагаемых не зависят от параметров \(s\) и \(t\), а значит, представляют собой некоторый фиксированный вектор.

Таким образом, полученная формула подтверждает, что точка \(\vec{E}\) также принадлежит той же плоскости, где находятся точки \(A, B\) и \(C\).

Это означает, что любая пятая точка фигуры также находится в той же плоскости, где уже находятся четыре точки, и, применяя данное рассуждение для каждой комбинации четырех точек фигуры, мы можем утверждать, что все точки фигуры лежат в одной плоскости. Таким образом, мы доказали данное утверждение.