Яким є об єм правильної чотирикутної піраміди, яка має діагональ основи завдовжки 6 см та бічне ребро утворює певну

Для решения этой задачи, нам потребуется знать формулу для объема пирамиды и использовать данную информацию по диагонали и боковому ребру.

Формула для объема правильной четырехугольной пирамиды:
\[V = \frac{1}{3} \times S \times h\]
где \(V\) - объем пирамиды, \(S\) - площадь основания, \(h\) - высота пирамиды.

Для начала, нам нужно найти площадь основания пирамиды. Так как у нас есть диагональ основания, нам понадобится использовать формулу для площади четырехугольника.

Формула для площади четырехугольника:
\[S_{\text{четырехугольника}} = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2\]
где \(d_1\) и \(d_2\) - диагонали четырехугольника.

В нашем случае, у нас есть только одна диагональ - диагональ основания, длина которой составляет 6 см. Так как четырехугольная пирамида является правильной, то все ее стороны одинаковы и можно считать, что \(d_1 = d_2 = 6\).

Теперь, подставим полученные значения в формулу площади основания:
\[S = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18 \, \text{см}^2\]

Далее, чтобы найти высоту пирамиды (\(h\)), нам нужно знать значение бокового ребра и кутовую величину, которую оно образует с плоскостью основания.

Используя теорему косинусов, мы можем выразить высоту пирамиды:
\[h = \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{2}}\]
где \(a\) - боковое ребро пирамиды, \(b\) - половина диагонали основания пирамиды.

У нас уже есть половина диагонали основания (\(b = \frac{6}{2} = 3\)), поэтому нам остается узнать значение бокового ребра (\(a\)).

Зная, что боковое ребро образует кутовую величину с основанием, мы можем использовать свойство прямоугольного треугольника, где боковое ребро является гипотенузой и половина диагонали основания - одним из катетов.

Таким образом, мы можем выразить значение бокового ребра:
\[a = \sqrt{b^2 + c^2}\]
где \(c\) - половина длины основания пирамиды.

Поскольку у нас диагональ основания равна 6 см, то половина длины основания равна \(\frac{6}{2} = 3\) см.

Подставляя значения в формулу, мы получим:
\[a = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \, \text{см}\]

Теперь, когда у нас есть значение высоты (\(h\)) и площади основания (\(S\)), мы можем рассчитать объем пирамиды (\(V\)) с использованием формулы:
\[V = \frac{1}{3} \times S \times h\]

Подставив значения, получим:
\[V = \frac{1}{3} \times 18 \times 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \, \text{см}^3\]

Итак, объем данной правильной четырехугольной пирамиды составляет \(6\sqrt{2}\) кубических сантиметров.