Яким числом потрібно помножити перший член геометричної прогресії, щоб отримати четвертий член, який буде в 8 разів

Давайте разберем каждую из задач по очереди.

1. Чтобы найти число, на которое нужно умножить первый член геометрической прогрессии, чтобы получить четвертый член, который будет в 8 раз больше, мы можем использовать следующую формулу:

\[\text{четвертый член} = \text{первый член} \times (\text{множитель})^3\]

Из условия задачи мы знаем, что четвертый член будет в 8 раз больше первого члена, так что мы можем написать следующее уравнение:

\[\text{первый член} \times (\text{множитель})^3 = 8 \times \text{первый член}\]

Для удобства, давайте заменим \(\text{первый член}\) на \(a\) и \(\text{множитель}\) на \(r\). Тогда уравнение будет выглядеть так:

\[a \times r^3 = 8a\]

Чтобы решить это уравнение относительно \(r\), делим обе части на \(a\):

\[r^3 = 8\]

Затем извлекаем кубический корень от обеих сторон, чтобы найти \(r\):

\[r = \sqrt[3]{8}\]

Обратите внимание, что \(\sqrt[3]{8}\) равен 2. Таким образом, множитель равен 2.

Теперь, чтобы найти число, на которое нужно умножить первый член геометрической прогрессии, заменим \(r\) на 2 в исходном уравнении:

\[\text{первый член} \times 2^3 = 8 \times \text{первый член}\]

Упрощаем:

\[\text{первый член} \times 8 = 8 \times \text{первый член}\]

Из этого уравнения видно, что любое число, умноженное на 8, будет равно этому же числу. Таким образом, не важно, какое число мы возьмем в качестве первого члена геометрической прогрессии, исходя из условия задачи, ответом будет 8.

2. Чтобы найти первый член геометрической прогрессии, зная, что сумма третьего и четвертого членов прогрессии на 14 меньше их произведения, мы можем воспользоваться следующей формулой:

\[\text{сумма третьего и четвертого членов} = \text{первый член} \times (\text{множитель})^2 + \text{первый член} \times (\text{множитель})^3\]

Из условия задачи мы знаем, что сумма третьего и четвертого членов меньше их произведения на 14, так что мы можем записать следующее уравнение:

\[\text{первый член} \times (\text{множитель})^2 + \text{первый член} \times (\text{множитель})^3 = (\text{первый член} \times (\text{множитель})^2) \times (\text{первый член} \times (\text{множитель})^3) - 14\]

Аналогично предыдущей задаче, давайте заменим \(\text{первый член}\) на \(a\) и \(\text{множитель}\) на \(r\):

\[a \times r^2 + a \times r^3 = (a \times r^2) \times (a \times r^3) - 14\]

Для удобства, обозначим \(a \times r^2\) как \(x\):

\[x + x \times r = x \times (x \times r) - 14\]

Упростим это уравнение:

\[x + xr = x^2r - 14\]

Из этого уравнения, чтобы решить его относительно \(x\), поделим обе части на \(x\):

\[1 + r = xr - \frac{14}{x}\]

Переставим члены:

\[xr - x = r + \frac{14}{x}\]

Заметим, что левая часть уравнения — это разность двух членов геометрической прогрессии, а правая часть — это сумма числа \(r\) и числа \(\frac{14}{x}\).

Теперь, чтобы найти первый член геометрической прогрессии, остается только найти значение \(x\) или \(a \times r^2\).

Давайте взглянем на задачу еще раз. Сумма третьего и четвертого членов прогрессии на 14 меньше их произведения. Это означает, что:

\[\text{сумма третьего и четвертого членов} + 14 = \text{первый член} \times (\text{множитель})^2 \times (\text{множитель})^3\]

Заменим \(\text{сумма третьего и четвертого членов}\) на \(x\), а \(\text{первый член} \times (\text{множитель})^2 \times (\text{множитель})^3\) на \(xr\):

\[x + 14 = xr\]

Теперь мы имеем два уравнения:

\[x + xr = x^2r - 14\]
\[x + 14 = xr\]

Мы можем решить эту систему уравнений методом исключения. Вычтем второе уравнение из первого:

\[x + xr - (x + 14) = x^2r - 14 - xr\]

Упростим:

\[xr - x - (x + 14) = x^2r - 14 - xr\]

\[xr - x - x - 14 = x^2r - 14 - xr\]

\[xr - 2x - 14 = x^2r - 14 - xr\]

\[xr - xr - 2x + 2x - 14 + 14 = x^2r - xr - 14 + 14\]

\[0 = x^2r - xr\]

\[xr - x^2r = 0\]

\[r(x - x^2) = 0\]

Таким образом, у нас есть две возможности: либо \(r = 0\), либо \(x - x^2 = 0\).

Если \(r = 0\), то величина, на которую нужно умножить первый член геометрической прогрессии, будет равна нулю. Однако, согласно условию задачи, четвертый член прогрессии должен быть в 8 раз больше первого члена. Поэтому, в данном случае, решение с \(r = 0\) не подходит.

Таким образом, остается вторая возможность: \(x - x^2 = 0\).

Решим эту квадратное уравнение:

\[x - x^2 = 0\]

\[x(1 - x) = 0\]

Это уравнение имеет два решения: \(x = 0\) и \(x = 1\).

Однако, если \(x = 0\), то величина, на которую нужно умножить первый член геометрической прогрессии, будет равна нулю. Как уже упоминалось ранее, это не соответствует условию задачи, поэтому решение с \(x = 0\) не подходит.

Итак, мы получили \(x = 1\). Значит, \(a \times r^2 = x = 1\). Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен 1.

3. Чтобы найти способ связи между первым, третьим и четвертым членами геометрической прогрессии, мы можем воспользоваться формулой общего члена геометрической прогрессии:

\[a_n = a \times r^{(n-1)}\]

Где \(a_n\) - \(n\)-й член прогрессии, \(a\) - первый член прогрессии, \(r\) - множитель прогрессии.

Из формулы мы видим, что \(a_n\) выражается через произведение \(a\) и степени \(r\), где показатель степени равен \((n-1)\).

Теперь давайте рассмотрим связь между первым, третьим и четвертым членами прогрессии.

Первый член прогрессии равен \(a\), третий член прогрессии равен \(a_3 = a \times r^{(3-1)} = a \times r^2\) и четвертый член прогрессии равен \(a_4 = a \times r^{(4-1)} = a \times r^3\).

Итак, мы видим, что первый, третий и четвертый члены геометрической прогрессии связаны следующим образом:

\(\text{третий член} = \text{первый член} \times (\text{множитель})^2\)

\(\text{четвертый член} = \text{первый член} \times (\text{множитель})^3\)

Это означает, что каждый последующий член прогрессии равен предыдущему члену, умноженному на множитель.

Итак, мы решили все задачи, проанализировав каждую из них по очереди. Если у вас возникли еще вопросы или что-то не ясно, пожалуйста, дайте знать.