Яким буде значення висоти рівностороннього трикутника, якщо весьочена кола, опуклого до нього, матиме радіус рівний?!

Давайте розглянемо дану задачу про висоту рівностороннього трикутника, який має вписаний в нього коло з радіусом \(r\).

Знаючи, що цей трикутник є рівностороннім, ми знаємо, що всі його сторони мають однакову довжину. Позначимо цю довжину як \(s\).

Знаючи, що вписане коло має радіус \(r\), ми можемо знайти відстань від центра кола до одного з вершин трикутника, яка є його висотою. Нехай \(h\) - ця висота.

Тепер ми можемо використати властивість висоти рівностороннього трикутника: вона розбиває трикутник на дві рівні прямокутні трикутники. Таким чином, ми можемо скласти рівняння за теоремою Піфагора для цих прямокутних трикутників.

У прямокутних трикутниках одна катет має довжину \(h\), а другий катет має довжину \(s/2\), оскільки рівносторонній трикутник може бути розбитий на два прямокутні трикутники зі сторонами \(s/2\) та \(h\) та гіпотенузою \(s\).

Застосовуючи теорему Піфагора до прямокутних трикутників, ми можемо записати:

\[
h^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2 = s^2
\]

Розкриваємо це рівняння:

\[
h^2 + \frac{s^2}{4} = s^2
\]

Переносимо \(\frac{s^2}{4}\) на другий бік рівняння:

\[
h^2 = s^2 - \frac{s^2}{4}
\]

Скорочуємо дроби:

\[
h^2 = \frac{3s^2}{4}
\]

Беремо квадратний корінь з обох боків рівняння:

\[
h = \sqrt{\frac{3s^2}{4}}
\]

Скорочуємо квадратний корінь та дріб:

\[
h = \frac{s\sqrt{3}}{2}
\]

Таким чином, значення висоти рівностороннього трикутника з вписаним колом радіусом \(r\) складає \(\frac{s\sqrt{3}}{2}\).