Яким буде розмір гіпотенузи прямокутного трикутника MNK (ZN = 90°), якщо довжина сторони MN = 10см, а sin ZK = 5/9?

Хорошо, давайте решим эту задачу. У нас есть прямоугольный треугольник MNK, где угол ZNK равен 90 градусов. Нам известно, что сторона MN равна 10 см и sin ZK равен 5/9.

Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения гипотенузы треугольника. Теорема Пифагора гласит, что для прямоугольного треугольника гипотенуза в квадрате равна сумме квадратов катетов. В нашем случае гипотенуза обозначена буквой MK.

Используя теорему Пифагора, мы можем записать уравнение:

\[
MK^2 = MN^2 + NK^2
\]

Поскольку один из углов прямой, то MNK - прямоугольный треугольник, поэтому можно записать:

\[
MK^2 = 10^2 + NK^2
\]

Теперь нам нужно найти значение NK, чтобы решить уравнение. У нас дано, что sin ZK равен 5/9. Мы знаем, что sin угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. В нашем случае противолежащий катет - это NK, а гипотенуза - это MK.

Мы можем записать уравнение для sin ZK:

\[
sin ZK = \frac{NK}{MK}
\]

Подставляем данное значение:

\[
\frac{5}{9} = \frac{NK}{MK}
\]

Теперь нам нужно выразить MK через NK и подставить это значение в уравнение для гипотенузы.

Исходя из этого уравнения, мы можем выразить MK:

\[
MK = \frac{NK}{\frac{5}{9}}
\]

Упрощая это выражение, получаем:

\[
MK = \frac{NK \cdot 9}{5}
\]

Теперь, зная значение MK, мы можем подставить его в уравнение для гипотенузы:

\[
MK^2 = 10^2 + NK^2
\]

\[
\left(\frac{NK \cdot 9}{5}\right)^2 = 10^2 + NK^2
\]

\[
\frac{81NK^2}{25} = 100 + NK^2
\]

Упрощаем уравнение:

\[
81NK^2 = 2500 + 25NK^2
\]

Переносим все к одной стороне:

\[
56NK^2 = 2500
\]

Делим обе стороны на 56:

\[
NK^2 = \frac{2500}{56}
\]

Вычисляем значение:

\[
NK^2 = 44,64
\]

Извлекаем квадратный корень:

\[
NK = \sqrt{44,64}
\]

\[
NK \approx 6,68
\]

Теперь, когда у нас есть значение NK, мы можем подставить его обратно в уравнение для MK:

\[
MK = \frac{NK \cdot 9}{5}
\]

\[
MK = \frac{6,68 \cdot 9}{5}
\]

\[
MK \approx 12,04
\]

Таким образом, размер гипотенузы прямоугольного треугольника MNK составляет около 12,04 см.