Яким буде розмір гіпотенузи прямокутного трикутника MNK (ZN = 90°), якщо довжина сторони MN = 10см, а sin ZK = 5/9?

Хорошо, давайте решим эту задачу. У нас есть прямоугольный треугольник MNK, где угол ZNK равен 90 градусов. Нам известно, что сторона MN равна 10 см и sin ZK равен 5/9.

Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения гипотенузы треугольника. Теорема Пифагора гласит, что для прямоугольного треугольника гипотенуза в квадрате равна сумме квадратов катетов. В нашем случае гипотенуза обозначена буквой MK.

Используя теорему Пифагора, мы можем записать уравнение:

$$M{K}^2=M{N}^2+N{K}^2$$

Поскольку один из углов прямой, то MNK - прямоугольный треугольник, поэтому можно записать:

$$M{K}^2={10}^2+N{K}^2$$

Теперь нам нужно найти значение NK, чтобы решить уравнение. У нас дано, что sin ZK равен 5/9. Мы знаем, что sin угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. В нашем случае противолежащий катет - это NK, а гипотенуза - это MK.

Мы можем записать уравнение для sin ZK:

$$sinZK=\frac{NK}{MK}$$

Подставляем данное значение:

$$\frac{5}{9}=\frac{NK}{MK}$$

Теперь нам нужно выразить MK через NK и подставить это значение в уравнение для гипотенузы.

Исходя из этого уравнения, мы можем выразить MK:

$$MK=\frac{NK}{\frac{5}{9}}$$

Упрощая это выражение, получаем:

$$MK=\frac{NK\cdot 9}{5}$$

Теперь, зная значение MK, мы можем подставить его в уравнение для гипотенузы:

$$M{K}^2={10}^2+N{K}^2$$

$${\left(\frac{NK\cdot 9}{5}\right)}^2={10}^2+N{K}^2$$

$$\frac{81N{K}^2}{25}=100+N{K}^2$$

Упрощаем уравнение:

$$81N{K}^2=2500+25N{K}^2$$

Переносим все к одной стороне:

$$56N{K}^2=2500$$

Делим обе стороны на 56:

$$N{K}^2=\frac{2500}{56}$$

Вычисляем значение:

$$N{K}^2=44,64$$

Извлекаем квадратный корень:

$$NK=\sqrt{44,64}$$

$$NK\approx 6,68$$

Теперь, когда у нас есть значение NK, мы можем подставить его обратно в уравнение для MK:

$$MK=\frac{NK\cdot 9}{5}$$

$$MK=\frac{6,68\cdot 9}{5}$$

$$MK\approx 12,04$$

Таким образом, размер гипотенузы прямоугольного треугольника MNK составляет около 12,04 см.