Необходимо доказать, что векторы CD1, C1D и AB лежат в одной плоскости

Чтобы доказать, что векторы \(CD_1\), \(C_1D\) и \(AB\) лежат в одной плоскости, мы можем использовать свойство линейной зависимости векторов.

Линейная зависимость векторов означает, что один из векторов может быть представлен как линейная комбинация других векторов. Если мы сможем представить вектор \(AB\) в виде линейной комбинации векторов \(CD_1\) и \(C_1D\), то это будет означать, что все три вектора лежат в одной плоскости.

Давайте рассмотрим вектор \(AB\). Чтобы представить его в виде линейной комбинации векторов \(CD_1\) и \(C_1D\), мы должны найти такие коэффициенты \(k_1\) и \(k_2\), чтобы выполнялось следующее равенство:

\[AB = k_1 \cdot CD_1 + k_2 \cdot C_1D\]

Теперь, давайте разложим векторы \(AB\), \(CD_1\) и \(C_1D\) на векторы:

\[AB = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}\]
\[CD_1 = \overrightarrow{OD_1} - \overrightarrow{OC}\]
\[C_1D = \overrightarrow{OC_1} - \overrightarrow{OD}\]

Теперь мы можем подставить эти значения в наше равенство и решить его:

\[\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = k_1 \cdot (\overrightarrow{OD_1} - \overrightarrow{OC}) + k_2 \cdot (\overrightarrow{OC_1} - \overrightarrow{OD})\]

Далее, раскрываем скобки и собираем все значения вместе:

\[\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (k_1 \cdot \overrightarrow{OD_1} - k_1 \cdot \overrightarrow{OC}) + (k_2 \cdot \overrightarrow{OC_1} - k_2 \cdot \overrightarrow{OD})\]

Теперь, чтобы это равенство выполнялось для всех векторов, коэффициенты перед каждым вектором должны быть равны. Это дает нам следующие уравнения:

\[k_1 = 1\]
\[-k_1 = -1\]
\[k_2 = -1\]
\[-k_2 = 1\]

Такое уравнение не имеет решения, поэтому векторы \(CD_1\), \(C_1D\) и \(AB\) не могут быть линейно зависимыми и, следовательно, лежат в одной плоскости.

Таким образом, мы доказали, что векторы \(CD_1\), \(C_1D\) и \(AB\) не лежат в одной плоскости.