Яким буде перший елемент геометричної прогресії, якщо знаменник рівний 1/2 (значення з пів-одиниця), а сума перших семи

Для решения данной задачи, нам нужно определить значения первого элемента и суммы первых семи членов геометрической прогрессии.

Зная, что знаменник геометрической прогрессии равен \( \frac{1}{2} \), мы можем записать первый элемент прогрессии в виде \( a \). Тогда второй элемент будет равен \( a \cdot \frac{1}{2} \), третий элемент будет равен \( a \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2 \), и так далее.

Используя формулу суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии, получаем:

\[ S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \]

где \( S_n \) - сумма первых \( n \) членов прогрессии, \( a \) - первый член прогрессии, \( r \) - знаменатель (значение, на которое мы домножаем каждый следующий член).

Мы знаем, что сумма первых семи членов прогрессии равна -254. Таким образом, у нас есть следующее уравнение:

\[ -254 = a \cdot \frac{1 - \left( \frac{1}{2} \right)^7}{1 - \frac{1}{2}} \]

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение \( a \):

\[ -254 = a \cdot \frac{1 - \frac{1}{128}}{\frac{1}{2}} \]

Упрощая выражение под знаком дроби, получим:

\[ -254 = a \cdot \frac{\frac{128 - 1}{128}}{\frac{1}{2}} \]

Далее, упростим дробь (\( \frac{128 - 1}{128} = \frac{127}{128} \)) и умножим на обратное значение делителя:

\[ -254 = a \cdot \left( \frac{127}{128} \cdot 2 \right) \]

\[ -254 = a \cdot \frac{254}{128} \]

Теперь откажемся от дроби, умножив числитель на \( 2 \):

\[ -254 = a \cdot 2 \]

И, наконец, разделим обе части уравнения на \( 2 \), чтобы найти \( a \):

\[ a = \frac{-254}{2} \]

\[ a = -127 \]

Таким образом, первый элемент геометрической прогрессии равен -127.