Яким буде периметр прямокутного трикутника з вписаним колом, якщо радіус кола дорівнює?

Давайте рассмотрим задачу более подробно. У нас есть прямоугольный треугольник, вписанный в окружность. Мы знаем радиус этой окружности и хотим найти периметр треугольника.

Перед тем, как начать решение, давайте вспомним некоторые свойства прямоугольных треугольников и окружностей.

1. Прямоугольный треугольник имеет один прямой угол, равный 90 градусов.
2. Окружность вписана в треугольник, когда ее центр совпадает с центром вписанной окружности.
3. Вписанная окружность треугольника касается каждой из его сторон в одной точке.

Теперь перейдем к решению задачи.

Пусть радиус вписанной окружности равен \(r\). В таком случае, диаметр окружности будет равен \(2r\).

Поскольку треугольник прямоугольный, то одна из его сторон будет равна диаметру окружности, то есть \(2r\). Предположим, что это гипотенуза треугольника.

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы. В нашем случае это будет:

\((a^2 + b^2) = (2r)^2\)

Но нам нужно выразить периметр треугольника через радиус вписанной окружности, поэтому нам нужно знать длину каждой из сторон треугольника.

Найдем длины катетов. Предположим, что один катет равен \(a\) и другой катет равен \(b\).

Теперь давайте вспомним, что вписанная окружность треугольника касается каждой из его сторон в одной точке. Следовательно, радиус окружности будет перпендикулярен каждой стороне треугольника в точке касания.

Зная это, мы можем провести следующие рассуждения:

- Радиус окружности перпендикулярен стороне \(a\) в точке касания, то есть он является высотой прямоугольного треугольника. Поэтому площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катета \(a\) на высоту \(r\): \(\frac{1}{2} \cdot a \cdot r\).
- Аналогично, площадь треугольника можно выразить через катет \(b\) и радиус окружности: \(\frac{1}{2} \cdot b \cdot r\).

Теперь мы можем найти площадь прямоугольного треугольника, сложив площади полученных треугольников:

\(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot r + \frac{1}{2} \cdot b \cdot r\)

Из теоремы Пифагора мы знаем, что \(a^2 + b^2 = (2r)^2\), то есть \(a^2 + b^2 = 4r^2\). Мы можем переписать это уравнение, выразив \(b^2\) через \(a^2\):

\(b^2 = 4r^2 - a^2\)

Теперь мы можем заменить \(b^2\) в формуле для площади треугольника:

\(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot r + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4r^2 - a^2} \cdot r\)

Наконец, периметр треугольника будет равен сумме длин его сторон:

\(P = a + b + \text{гипотенуза}\)

Заменим гипотенузу на \(2r\) и \(b\) на \(\sqrt{4r^2 - a^2}\):

\(P = a + \sqrt{4r^2 - a^2} + 2r\)

Таким образом, мы получили формулу для нахождения периметра прямоугольного треугольника с вписанной окружностью, зная радиус этой окружности.

Остается только подставить известные значения и решить уравнение для конкретного радиуса окружности, чтобы найти периметр треугольника.

Надеюсь, что это пошаговое решение понятно и полезно для вас! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.