Які значення повної механічної енергії коливань, їх частота і жорсткість пружини випливають з таких параметрів

Щоб знайти значення повної механічної енергії коливань, частоту і жорсткість пружини, спочатку потрібно знайти потенціальну та кінетичну енергію.

Почнемо зі швидкості та амплітуди коливань. Знаючи, що тягарець проходить положення рівноваги зі швидкістю 4 м/с, можемо записати рівняння кінетичної енергії:

\[ E_{\text{к}} = \frac{1}{2} m v^2 \]

де \(E_{\text{к}}\) - кінетична енергія, \(m\) - маса тягарця, \(v\) - його швидкість.

Підставимо значення:

\[ E_{\text{к}} = \frac{1}{2} \cdot 0.4 \, \text{кг} \cdot (4 \, \text{м/с})^2 = 1.6 \, \text{Дж} \]

Тепер знаємо кінетичну енергію коливань.

Далі, робимо припущення, що повна механічна енергія коливань максимальна при проходженні через положення рівноваги. Це можна записати рівнянням:

\[ E_{\text{п}} = E_{\text{к}} + E_{\text{пот}} \]

де \(E_{\text{п}}\) - повна механічна енергія, \(E_{\text{к}}\) - кінетична енергія, \(E_{\text{пот}}\) - потенціальна енергія.

Так як коливання відбуваються на рухомій пружині, то потенціальна енергія пружини залежить від розтягу пружини:

\[ E_{\text{пот}} = \frac{1}{2} k x^2 \]

де \(k\) - жорсткість пружини, \(x\) - розтяг пружини.

Можемо записати рівняння повної механічної енергії:

\[ E_{\text{п}} = E_{\text{к}} + \frac{1}{2} k x^2 \]

Тепер візьмемо до уваги значення амплітуди коливань. Коли тягарець проходить положення рівноваги, максимальна відстань, на яку розтягнута пружина, дорівнює амплітуді. Отже \(x = 10 \, \text{см} = 0.1 \, \text{м}\).

Підставимо значення кінетичної енергії, амплітуди та жорсткості пружини в рівняння повної механічної енергії:

\[ E_{\text{п}} = 1.6 \, \text{Дж} + \frac{1}{2} k (0.1 \, \text{м})^2 \]

Тепер візьмемо до уваги, що повна механічна енергія коливань максимальна при проходженні через положення рівноваги. У цьому положенні потенціальна енергія дорівнює нулю, оскільки пружина не розтягнута. Тому:

\[ E_{\text{п}} = 0 \]

Прирівняємо отримані рівняння і вирішимо його:

\[ 1.6 \, \text{Дж} + \frac{1}{2} k (0.1 \, \text{м})^2 = 0 \]

\( \frac{1}{2} k (0.1 \, \text{м})^2 = -1.6 \, \text{Дж} \)

\[ k (0.01 \, \text{м}^2) = -3.2 \, \text{Дж} \]

\[ k = \frac{-3.2 \, \text{Дж}}{0.01 \, \text{м}^2} \]

\[ k = -320 \, \text{Н/м} \]

Отже, жорсткість пружини дорівнює -320 Н/м.

Тепер, щоб знайти частоту коливань, використовуємо формулу:

\[ f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \]

Підставимо значення жорсткості і маси в формулу:

\[ f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{-320 \, \text{Н/м}}{0.4 \, \text{кг}}} \]

\[ f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{-800 \, \text{1/с}^2} \]

\[ f = \frac{1}{2\pi} \cdot i \cdot \sqrt{800} \, \text{1/с} \]

\[ f \approx 4.47 \, \text{Гц} \]

Отже, частота коливань дорівнює приблизно 4.47 Гц.

Значення повної механічної енергії коливань дорівнює нулю, оскільки в рівноважному положенні тягарця немає кінетичної або потенціальної енергії.

Отже, значення повної механічної енергії коливань: 0 Дж, частота: пріблизно 4.47 Гц, жорсткість пружини: -320 Н/м.