Які значення першого члена і різниці арифметичної прогресії, якщо сума п"ятого і дванадцятого членів дорівнює 36, а сума третього і дев"ятнадцятого членів дорівнює 6?
Давид
Спасибо за задачу! Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия представляет собой последовательность чисел, в которой каждый следующий элемент получается путем прибавления к предыдущему элементу одного и того же числа, называемого разностью прогрессии.
Дано, что сумма пятого и двенадцатого членов прогрессии равна 36:
\[a_5 + a_{12} = 36\]
Также дано, что сумма третьего и девятнадцатого членов прогрессии равна \(x\). Обозначим неизвестные значения первого члена и разности прогрессии через \(a\) и \(d\) соответственно.
Мы знаем, что \(a_5 = a + 4d\) и \(a_{12} = a + 11d\). Подставим эти значения в уравнение для суммы пятого и двенадцатого членов:
\[a + 4d + a + 11d = 36\]
Объединяем подобные слагаемые:
\[2a + 15d = 36 \quad (1)\]
Теперь рассмотрим уравнение для суммы третьего и девятнадцатого членов. Аналогично, \(a_3 = a + 2d\), \(a_{19} = a + 18d\). Подставляем в уравнение:
\[a + 2d + a + 18d = x\]
Снова объединяем подобные слагаемые:
\[2a + 20d = x \quad (2)\]
У нас есть два уравнения (1) и (2) с двумя неизвестными (\(a\) и \(d\)). Приведем эти уравнения к одинаковому виду и решим систему методом подстановки или методом сложения/вычитания.
Уравнение (1) умножим на 10:
\[20a + 150d = 360 \quad (3)\]
Теперь вычтем уравнение (2) из уравнения (3) для исключения переменной \(a\):
\[(20a + 150d) - (2a + 20d) = 360 - x\]
Упрощаем:
\[18a + 130d = 360 - x \quad (4)\]
Теперь решим систему уравнений (1) и (4) методом сложения/вычитания.
Вычтем уравнение (4) из уравнения (3):
\[(20a + 150d) - (18a + 130d) = 360 - x - (360 - x)\]
Делаем расчеты:
\[2a + 20d - 18a - 130d = 0\]
\[-16a - 110d = 0\]
\[-8a - 55d = 0 \quad (5)\]
Теперь можно решить уравнения (5) и (1) как систему линейных уравнений с двумя неизвестными.
Разделим уравнение (5) на 8:
\[-a - \frac{55}{8}d = 0\quad (6)\]
Теперь сложим уравнения (6) и (1) для исключения переменной \(a\):
\[-a - \frac{55}{8}d + 2a + 15d = 36\]
Упрощаем:
\[\frac{9}{8}d = 36\]
Умножаем обе части уравнения на 8/9:
\[d = 36 \cdot \frac{8}{9}\]
Рассчитываем значение \(d\):
\[d = 32\]
Теперь можем найти \(a\) с помощью уравнения (5):
\[-8a - 55 \cdot 32 = 0\]
Упрощаем:
\[-8a = 55 \cdot 32\]
Рассчитываем значение \(a\):
\[a = -\frac{55 \cdot 32}{8}\]
\[a = -220\]
Таким образом, первый член арифметической прогрессии равен -220, а разность равна 32. Проверим наш результат, подставив значения \(a\) и \(d\) в исходные уравнения:
\[a_5 = a + 4d = -220 + 4 \cdot 32 = -88\]
\[a_{12} = a + 11d = -220 + 11 \cdot 32 = 28\]
\[a_5 + a_{12} = -88 + 28 = -60\]
\[a_3 = a + 2d = -220 + 2 \cdot 32 = -156\]
\[a_{19} = a + 18d = -220 + 18 \cdot 32 = 388\]
\[a_3 + a_{19} = -156 + 388 = 232\]
Как мы видим, сумма пятого и двенадцатого членов равна -60, а сумма третьего и девятнадцатого членов равна 232, что совпадает с условием задачи. Наш ответ подтвержден.
Дано, что сумма пятого и двенадцатого членов прогрессии равна 36:
\[a_5 + a_{12} = 36\]
Также дано, что сумма третьего и девятнадцатого членов прогрессии равна \(x\). Обозначим неизвестные значения первого члена и разности прогрессии через \(a\) и \(d\) соответственно.
Мы знаем, что \(a_5 = a + 4d\) и \(a_{12} = a + 11d\). Подставим эти значения в уравнение для суммы пятого и двенадцатого членов:
\[a + 4d + a + 11d = 36\]
Объединяем подобные слагаемые:
\[2a + 15d = 36 \quad (1)\]
Теперь рассмотрим уравнение для суммы третьего и девятнадцатого членов. Аналогично, \(a_3 = a + 2d\), \(a_{19} = a + 18d\). Подставляем в уравнение:
\[a + 2d + a + 18d = x\]
Снова объединяем подобные слагаемые:
\[2a + 20d = x \quad (2)\]
У нас есть два уравнения (1) и (2) с двумя неизвестными (\(a\) и \(d\)). Приведем эти уравнения к одинаковому виду и решим систему методом подстановки или методом сложения/вычитания.
Уравнение (1) умножим на 10:
\[20a + 150d = 360 \quad (3)\]
Теперь вычтем уравнение (2) из уравнения (3) для исключения переменной \(a\):
\[(20a + 150d) - (2a + 20d) = 360 - x\]
Упрощаем:
\[18a + 130d = 360 - x \quad (4)\]
Теперь решим систему уравнений (1) и (4) методом сложения/вычитания.
Вычтем уравнение (4) из уравнения (3):
\[(20a + 150d) - (18a + 130d) = 360 - x - (360 - x)\]
Делаем расчеты:
\[2a + 20d - 18a - 130d = 0\]
\[-16a - 110d = 0\]
\[-8a - 55d = 0 \quad (5)\]
Теперь можно решить уравнения (5) и (1) как систему линейных уравнений с двумя неизвестными.
Разделим уравнение (5) на 8:
\[-a - \frac{55}{8}d = 0\quad (6)\]
Теперь сложим уравнения (6) и (1) для исключения переменной \(a\):
\[-a - \frac{55}{8}d + 2a + 15d = 36\]
Упрощаем:
\[\frac{9}{8}d = 36\]
Умножаем обе части уравнения на 8/9:
\[d = 36 \cdot \frac{8}{9}\]
Рассчитываем значение \(d\):
\[d = 32\]
Теперь можем найти \(a\) с помощью уравнения (5):
\[-8a - 55 \cdot 32 = 0\]
Упрощаем:
\[-8a = 55 \cdot 32\]
Рассчитываем значение \(a\):
\[a = -\frac{55 \cdot 32}{8}\]
\[a = -220\]
Таким образом, первый член арифметической прогрессии равен -220, а разность равна 32. Проверим наш результат, подставив значения \(a\) и \(d\) в исходные уравнения:
\[a_5 = a + 4d = -220 + 4 \cdot 32 = -88\]
\[a_{12} = a + 11d = -220 + 11 \cdot 32 = 28\]
\[a_5 + a_{12} = -88 + 28 = -60\]
\[a_3 = a + 2d = -220 + 2 \cdot 32 = -156\]
\[a_{19} = a + 18d = -220 + 18 \cdot 32 = 388\]
\[a_3 + a_{19} = -156 + 388 = 232\]
Как мы видим, сумма пятого и двенадцатого членов равна -60, а сумма третьего и девятнадцатого членов равна 232, что совпадает с условием задачи. Наш ответ подтвержден.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
