Допустим, x и y являются натуральными числами такими, что 7x+9y кратно 11. Теперь рассмотрим следующую ситуацию: сумма

Хорошо, давайте разберем эту задачу пошагово и докажем, что число \(2m^2 + 5mn + 3n^2\) также является кратным 7.

Для начала, давайте рассмотрим условие задачи, которое гласит, что сумма двух натуральных чисел \(m\) и \(n\) кратна 7. Мы можем записать это условие в виде уравнения:

\[m + n = 7k\]

Где \(k\) - любое натуральное число.

Теперь, чтобы доказать, что число \(2m^2 + 5mn + 3n^2\) кратно 7, мы должны показать, что оно делится на 7 без остатка.

Для этого нам нужно выразить \(m\) и \(n\) через другие переменные, чтобы подставить их в выражение \(2m^2 + 5mn + 3n^2\) и увидеть, будет ли остаток от деления этого выражения на 7 равным нулю.

Разложим выражение \(2m^2 + 5mn + 3n^2\) на множители:

\[2m^2 + 5mn + 3n^2 = (2m + n)(m + 3n)\]

Теперь подставим \(m + n = 7k\) в это выражение:

\[2m^2 + 5mn + 3n^2 = (2m + n)(7k + 3n)\]

Теперь нужно показать, что это выражение делится на 7 без остатка.

Давайте рассмотрим оба множителя в скобках:

1) \(2m + n\)

Мы можем выразить \(m\) через \(n\) из уравнения \(m + n = 7k\):

\[m = 7k - n\]

Подставим это в выражение \(2m + n\):

\[2(7k - n) + n = 14k - 2n + n = 14k - n\]

2) \(7k + 3n\)

Так как \(7k\) кратно 7 (все кратные числа равны нулю по модулю этого числа), то \(7k + 3n\) также кратно 7.

Теперь, объединим оба множителя:

\((14k - n)(7k + 3n)\)

Чтобы показать, что это выражение кратно 7, мы можем разложить его в произведение двух чисел:

\((14k - n)(7k + 3n) = 98k^2 + 42kn - 7kn - 3n^2 = 98k^2 + 35kn - 3n^2\)

Теперь видим, что выражение состоит только из целых чисел и никаких дополнительных переменных. Мы можем заметить, что первый член \(98k^2\) кратен 7 (так как 98 делится на 7 без остатка), и второй член \(35kn\) также кратен 7 (так как 35 делится на 7 без остатка).

Остается только третий член \(3n^2\). Докажем, что он также кратен 7. Воспользуемся тем, что сумма \(m + n\) кратна 7:

\[m + n = 7k\]

\[3n = 7k - 2m\]

\[n = \frac{{7k - 2m}}{3}\]

Мы видим, что \(n\) выражается через \(k\) и \(m\) только в виде целых чисел. Поэтому можно утверждать, что \(3n\) кратно 7 и, следовательно, \(3n^2\) также кратно 7.

Таким образом, все три члена выражения \(2m^2 + 5mn + 3n^2\) кратны 7, и поэтому само выражение также кратно 7.

Доказательство завершено.