Які значення математичних функцій sin та cos відповідають додатковому куту 120°?

Для начала, давайте вспомним определение функций sin (синус) и cos (косинус). Синус и косинус - это тригонометрические функции, которые определены для любого угла.

Синус угла определяется отношением противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. В математическом обозначении sin угла α записывается как sin(α).

Косинус угла определяется отношением прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. В математическом обозначении cos угла α записывается как cos(α).

Теперь, чтобы вычислить значения sin и cos для угла 120°, нам понадобится треугольник, в котором один из углов равен 120°.

Мы можем использовать равносторонний треугольник, так как все его углы равны 60°. Пусть сторона треугольника равна a. Тогда, все стороны равны a.

Так как треугольник равносторонний, мы можем использовать теорему Пифагора и найти значение гипотенузы треугольника: \[a^2 = a^2 + a^2 - 2a \cdot a \cdot \cos(120°)\]

Сокращая выражение, получаем \[a^2 = 2a^2 - 2a^2 \cdot \cos(120°)\]

Далее, сокращаем выражение и решаем уравнение: \[a^2 = a^2 \cdot (2 - 2 \cdot \cos(120°))\]

Получаем \[1 = 2 - 2 \cdot \cos(120°)\]

Теперь, решим это уравнение, чтобы найти значение cos(120°). Вычитая 2 из обеих частей уравнения, получаем \[-1 = -2 \cdot \cos(120°)\]

Для получения значения cos(120°) делим обе части уравнения на -2, и получаем \[\cos(120°) = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}\]

Таким образом, значение cos(120°) равно \(\frac{1}{2}\).

Теперь найдем значение sin(120°). Мы знаем, что \[\sin(120°) = \sqrt{1 - \cos^2(120°)}\]

Подставляем значение cos(120°) равное \(\frac{1}{2}\) и получаем \[\sin(120°) = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2}\]

Упрощаем выражение и вычисляем \[\sin(120°) = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Таким образом, значение sin(120°) равно \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Итак, значения математических функций sin и cos для угла 120° равны \(\sin(120°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\cos(120°) = \frac{1}{2}\).