При каком значении переменной y вектора a (5; -4; 3) и вектора b (-15; 12; y) а) становятся перпендикулярными?

Для начала определим, что значит, что векторы являются перпендикулярными. Векторы a и b перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов a и b вычисляется следующим образом:

\[a \cdot b = a_1 \times b_1 + a_2 \times b_2 + a_3 \times b_3\]

где \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) - компоненты вектора a, а \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\) - компоненты вектора b.

а) Чтобы векторы a и b были перпендикулярными, их скалярное произведение должно быть равно нулю. Подставим значения компонентов векторов a и b в формулу скалярного произведения и решим уравнение относительно переменной y:

\[(5 \times -15) + (-4 \times 12) + (3 \times y) = 0\]
\[-75 - 48 + 3y = 0\]
\[-123 + 3y = 0\]
\[3y = 123\]
\[y = \frac{123}{3}\]
\[y = 41\]

Таким образом, чтобы векторы a и b были перпендикулярными, значение переменной y должно быть равно 41.

б) Для того чтобы векторы a и b были коллинеарными, они должны быть параллельными и иметь одинаковую или противоположную направленность. Векторы a и b будут коллинеарными, если отношение между соответствующими компонентами векторов будет постоянным.

Сравнивая компоненты векторов a и b, мы видим, что отношение между ними равно -15/5 = -3.

\[a_1/b_1 = a_2/b_2 = a_3/b_3 = -3/y\]

Подставляя значения a_1 = 5, a_2 = -4, a_3 = 3 и b_1 = -15, b_2 = 12, получим уравнения:

\[5/-15 = -4/12 = 3/y\]
\[-1/3 = -1/3 = 3/y\]

Решая последнее уравнение, получим:
\[3/y = -1/3 \]
\[y = -3\times3\]
\[y = -9\]

Таким образом, чтобы векторы a и b были коллинеарными, значение переменной y должно быть равно -9.