Які є верхній і нижній значення десяти вимірів ємності конденсаторів приладом з помилкою (m = 3), що записані в (пкФ

Для розв"язання даної задачі нам знадобиться обрахувати деякі статистичні параметри.

Крок 1: Обрахунок середнього значення

Спочатку обчислимо середнє значення вимірювань. Для цього необхідно додати всі значення і поділити суму на кількість вимірювань:

\[ \bar{x} = \frac{4.51 + 2.34 + 5.97 + 9.20 + 1.86 + 3.04 + 1.29 + 1.75 + 6.61 + 10.95}{10} \]

Розв"яжемо це:

\[ \bar{x} = \frac{48.42}{10} = 4.842 \]

Таким чином, середнє значення складає 4.842 пкФ.

Крок 2: Обрахунок суми квадратів відхилень

Далі, обчислимо суму квадратів відхилень кожного вимірювання від середнього значення. Для цього потрібно взяти кожне значення, відняти від нього середнє значення і піднести результат до квадрату, а потім всі ці результати додати:

\[ \sum_{i=1}^{10}(x_i - \bar{x})^2 \]

Виконаємо обчислення:

\[ (4.51 - 4.842)^2 + (2.34 - 4.842)^2 + (5.97 - 4.842)^2 + (9.20 - 4.842)^2 + (1.86 - 4.842)^2 + (3.04 - 4.842)^2 + (1.29 - 4.842)^2 + (1.75 - 4.842)^2 + (6.61 - 4.842)^2 + (10.95 - 4.842)^2 \]

\[ = (-0.332)^2 + (-2.502)^2 + (1.128)^2 + (4.358)^2 + (-2.982)^2 + (-1.802)^2 + (-3.552)^2 + (-3.092)^2 + (1.768)^2 + (6.108)^2 \]

\[ = 0.110 + 6.261 + 1.272 + 18.973 + 8.894 + 3.247 + 12.617 + 9.586 + 3.127 + 37.348 \]

\[ = 100.625 \]

Отже, сума квадратів відхилень складає 100.625 пкФ².

Крок 3: Обрахунок верхньої межі довірчого інтервалу

Зауважте, що у нас є помилка виміру \( m = 3 \). Так як ми шукаємо довірчий інтервал для дисперсії, ми маємо врахувати цю помилку при обчисленні верхньої межі.

Верхня межа довірчого інтервалу для дисперсії може бути обчислена за формулою:

\[ \sigma^2 + \frac{m^2 \cdot s^2}{\chi^2_{\alpha/2,m}} \]

де:
- \(\sigma^2\) - дисперсія (яку ми хочемо знайти);
- \(s^2\) - виправлена вибіркова дисперсія, обчислена на попередніх кроках;
- \(\chi^2_{\alpha/2, m}\) - значення хі-квадрат розподілу з рівнем значущості \(\alpha\) і \(m\) ступенями свободи.

Значення хі-квадрат можна знайти в таблицях або обчислити за допомогою статистичного програмного забезпечення. У нашому випадку, при \(\alpha = 0.01\) і \(m = 3\), відповідне значення хі-квадрат розподілу дорівнює 11.345.

Підставимо отримані значення в формулу:

\[ \sigma^2 + \frac{m^2 \cdot s^2}{\chi^2_{\alpha/2,m}} = 100.625 + \frac{3^2 \cdot 100.625}{11.345} \]

\[ = 100.625 + \frac{9 \cdot 100.625}{11.345} \]

\[ = 100.625 + \frac{905.625}{11.345} \]

\[ \approx 100.625 + 79.859 \]

\[ \approx 180.484 \]

Таким чином, верхня межа 99% довірчого інтервалу для дисперсії становить приблизно 180.484 пкФ².