Чему равна полная поверхность данной треугольной пирамиды? В пирамиде, у которой апофема составляет 6 см и радиус

Чтобы решить данную задачу, мы сначала определим высоту треугольной пирамиды, а затем вычислим её полную поверхность.

Высота треугольной пирамиды может быть найдена с помощью теоремы Пифагора. Для этого мы воспользуемся радиусом окружности, вписанной в основание пирамиды, и апофемой.

Пусть \( r \) - радиус окружности, вписанной в основание пирамиды, а \( a \) - апофема пирамиды.

Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного половиной основания пирамиды, апофемой и радиусом окружности, мы можем записать:

\[
\left(\frac{a}{2}\right)^2 + r^2 = a^2
\]

Разделим обе части равенства на \( 4 \), чтобы получить:

\[
\frac{a^2}{4} + r^2 = a^2
\]

Вычтем \( \frac{a^2}{4} \) с обеих сторон равенства:

\[
r^2 = \frac{3a^2}{4}
\]

Теперь извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

\[
r = \frac{a\sqrt{3}}{2}
\]

Таким образом, радиус окружности, вписанной в основание пирамиды, равен \( \frac{a\sqrt{3}}{2} \).

Теперь, имея значение радиуса, мы можем вычислить полную поверхность треугольной пирамиды.

Полная поверхность пирамиды состоит из поверхности её основания и поверхности боковых граней.

Поверхность основания можно вычислить по формуле площади треугольника. Пусть \( S_{\text{осн}} \) - площадь основания.

\[
S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}a^2}{4}
\]

Чтобы вычислить площадь боковой поверхности, нам необходимо найти периметр основания пирамиды. Пусть \( P \) - периметр основания.

\[
P = 3a
\]

Теперь собираем всю информацию вместе, чтобы найти полную поверхность пирамиды \( S_{\text{п}} \).

\[
S_{\text{п}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}
\]

\[
S_{\text{п}} = \frac{\sqrt{3}a^2}{4} + \frac{1}{2}P \times r
\]

Подставляя значения в формулу, получим:

\[
S_{\text{п}} = \frac{\sqrt{3}a^2}{4} + \frac{1}{2} \times 3a \times \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)
\]

\[
S_{\text{п}} = \frac{\sqrt{3}a^2}{4} + \frac{3a^2\sqrt{3}}{4}
\]

\[
S_{\text{п}} = \frac{4\sqrt{3}a^2 + 3a^2\sqrt{3}}{4}
\]

\[
S_{\text{п}} = \frac{a^2(4\sqrt{3} + 3\sqrt{3})}{4}
\]

\[
S_{\text{п}} = \frac{a^2 \times 7\sqrt{3}}{4}
\]

Таким образом, полная поверхность данной треугольной пирамиды равна \( \frac{a^2 \times 7\sqrt{3}}{4} \).