Які є первісні для наступних функцій? 1) f(x) = x 2) f(x) = 5x3 3) f(x) = -1/x2 4) f(x) = ln(x

Конечно! Давайте рассмотрим каждую из функций и определим ее первообразную:

1) Для функции \(f(x) = x\) первообразной будет функция \(F(x) = \frac{1}{2}x^2 + C\), где \(C\) - произвольная постоянная. Это можно показать путем применения правила интегрирования степенной функции, где мы увеличиваем показатель степени на единицу и делим на новый показатель степени (т.е. \(\frac{d}{dx}( \frac{1}{2}x^2 + C) = x\)).

2) Для функции \(f(x) = 5x^3\) первообразной будет функция \(F(x) = \frac{5}{4}x^4 + C\), где \(C\) - произвольная постоянная. Снова, это можно вывести из правила интегрирования степенной функции, где мы увеличиваем показатель степени на единицу и делим на новый показатель степени (т.е. \(\frac{d}{dx}( \frac{5}{4}x^4 + C) = 5x^3\)).

3) Для функции \(f(x) = -\frac{1}{x^2}\) первообразной будет функция \(F(x) = \frac{1}{x} + C\), где \(C\) - произвольная постоянная. Здесь мы применяем правило интегрирования степенной функции с отрицательным показателем степени, где мы увеличиваем показатель степени на единицу и делим на новый показатель степени (т.е. \(\frac{d}{dx}( \frac{1}{x} + C) = -\frac{1}{x^2}\)).

4) Для функции \(f(x) = \ln(x)\) первообразной будет функция \(F(x) = x \ln(x) - x + C\), где \(C\) - произвольная постоянная. Для нахождения первообразной этой функции мы используем метод интегрирования по частям, в котором мы выбираем одну функцию как функцию, производная которой проста (в данном случае это \(\ln(x)\)), а другую функцию как функцию, интеграл которой проще взять (в данном случае это \(1\)). Применяя правило интегрирования по частям, мы получаем \(F(x) = \int (\ln(x) \cdot 1)dx = x \ln(x) - \int(x \cdot \frac{1}{x}) dx = x \ln(x) - x + C\).

Все эти первообразные являются общими первообразными для данных функций, так как они содержат произвольную постоянную \(C\).