Які найменші значення може мати вираз 1/x + 1/y, якщо x і y є додатними числами і сума x+y дорівнює

Давайте разберемся с этой задачей пошагово. У нас есть выражение \(1/x + 1/y\), где \(x\) и \(y\) - положительные числа, и сумма \(x + y\) равна заданному значению.

Для начала, давайте напишем выражение в виде общего дроби. Суммируем две дроби и приводим к общему знаменателю:
\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y + x}{xy}\]

Теперь нам нужно найти наименьшее значение этого выражения. Для этого нам пригодится неравенство о средних. Суть этого неравенства состоит в том, что для положительных чисел \(a\) и \(b\) справедливо следующее неравенство:
\[\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}\]

Применим это неравенство к нашему выражению:
\[\frac{y + x}{2} \geq \sqrt{xy}\]

Теперь, чтобы найти минимальное значение выражения, нужно найти минимальное значение корня \(\sqrt{xy}\). Корень обратно пропорционален значению произведения двух чисел \(x\) и \(y\), поэтому, чтобы минимизировать корень, нужно максимизировать произведение \(xy\).

Мы знаем, что сумма \(x + y\) равна заданному значению. При фиксированной сумме и максимальном значении произведения \(xy\), мы получим минимальное значение выражения. Таким образом, максимальное произведение \(xy\) будет достигаться, когда \(x\) и \(y\) будут иметь наиболее близкие значения.

Давайте рассмотрим пример. Пусть заданная сумма \(x + y\) равна 10. Мы хотим найти минимальное значение выражения \(1/x + 1/y\). По вышесказанному, мы хотим выбрать \(x\) и \(y\) так, чтобы их значения были максимально близкими.

Попробуем несколько вариантов:

1. Пусть \(x = 5\) и \(y = 5\). В этом случае, \(xy = 25\) и выражение равно:
\[\frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5} = 0.4\]

2. Пусть \(x = 4\) и \(y = 6\). В этом случае, \(xy = 24\) и выражение равно:
\[\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{5}{12} \approx 0.4167\]

3. Пусть \(x = 3\) и \(y = 7\). В этом случае, \(xy = 21\) и выражение равно:
\[\frac{1}{3} + \frac{1}{7} \approx 0.5238\]

Можно продолжать так далее с разными значениями \(x\) и \(y\), но мы видим, что чем ближе значения \(x\) и \(y\) друг к другу, тем больше значение выражения \(1/x + 1/y\).

Таким образом, нашим окончательным ответом будет: выражение \(1/x + 1/y\) примет свое минимальное значение, когда \(x\) и \(y\) равны друг другу.

Я надеюсь, это пошаговое объяснение поможет вам понять, как найти минимальное значение выражения \(1/x + 1/y\) при заданных условиях. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!