Чему равны сторона и площадь равностороннего треугольника, если радиус окружности, описанной вокруг этого треугольника

Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые свойства равностороннего треугольника и окружности.

Предположим, что радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника, составляет \(r\).

В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой. Обозначим длину каждой стороны треугольника как \(s\).

Также, известно, что в описанном окружности радиус \(r\) является расстоянием от центра окружности до любой стороны треугольника.

Рассмотрим одну из сторон треугольника. Соединим конец стороны с центром окружности и обозначим полученную линию как \(h\) (она будет высотой треугольника).

Так как это равносторонний треугольник, то линия \(h\) будет одновременно являться и медианой, и высотой, и биссектрисой.
А так как теперь нам известны две стороны треугольника (\(s\) и \(r\)), и мы знаем, что линия \(h\) является медианой, то мы можем найти ее длину по формуле медианы равностороннего треугольника.

Формула медианы равностороннего треугольника:
\[h = \frac{s\sqrt{3}}{2}\]

Мы также знаем, что линия \(h\) равна расстоянию от центра окружности до любой стороны треугольника, то есть радиусу окружности \(r\):
\[r = \frac{s\sqrt{3}}{2}\]

Теперь, используя эту формулу, мы можем найти длину стороны треугольника \(s\):
\[s = \frac{2r}{\sqrt{3}}\]

Зная длину стороны треугольника \(s\), мы можем вычислить его площадь.

Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле:
\[S = \frac{s^2\sqrt{3}}{4}\]

Теперь, заменяя \(s\) на значение, которое мы получили выше, мы можем найти значение площади треугольника.

В итоге, чтобы найти длину стороны и площадь равностороннего треугольника, при условии, что радиус окружности составляет \(r\), нам необходимо использовать следующие формулы:

Длина стороны:
\[s = \frac{2r}{\sqrt{3}}\]

Площадь:
\[S = \frac{s^2\sqrt{3}}{4}\]