Які мінімальні зміни відстані між пластинами потрібні, щоб ємність плоского повітряного конденсатора не змінилася, якщо

Для того, чтобы емкость плоского повітряного конденсатора не змінювалася при зміні відстані між пластинами, необхідно зробити такі зміни, які спричинять зміну діелектричної проникності середовища, в якому знаходиться конденсатор, так, щоб ці зміни дорівнювали зміні відстані між пластинами. У даній задачі конденсатор занурений в гас (попередньо вибравши строк "газ" замість "порожнини"). Газ може бути приближено до ідеального газу, тобто його можна вважати діелектриком, в якому рухаються молекули, які розташовуються досить вільно і займають досить великий об"єм. Таким чином, зміни відстані між пластинами можна компенсувати шляхом зміни тиску газу. Відстань \(d\) між пластинами конденсатора і їх площа \(S\) знову від і від напруги \(U\), які сполучені формулами \(C = \frac{\varepsilon_0S}{d}\), \(Q = CU\) і \(F = \frac{Q^2}{2C}\), де \(С\) - ємність конденсатора, \(Q\) - заряд, який накопичується на пластинах, \(F\) - енергія, накопичена в конденсаторі, \(\varepsilon_0\) - діелектрична проникність вакууму. Из цих формул маємо вираз \(F = \frac{C \cdot U^2}{2}\). Об"єм від газу \(V\) залежить від тиску \(P\) і температури \(T\) за Законом Бойля-Маріотта \(PV = \frac{NRT}{M}\), де \(N\) - кількість молекул газу, \(R\) - універсальна газова стала, \(M\) - молярна маса газу. Зміни відстані між пластинами пов"язані зі зміною тиску газу. При малих змінах температури \( \Delta T\) та незмінному об’ємі \(V\), використовуючи закон Шарля \( \frac{\Delta V}{V}=\alpha \Delta T \), можна висловити \(\Delta P\) як:
\[\Delta P= -P \alpha \Delta T \]
Тоді:
\[\Delta V = -V \alpha \Delta T \]
З рівняння \(PV=NRT/M\) можна висловити \(V\) як залежність від \(P\):
\[V=\frac{NRT}{MP}\]
Підставимо це значення в останню отриману рівність і отримаємо:
\[\Delta P = - \frac{NRT}{M} \alpha \Delta T\]
Тепер ми можемо отримати зв"язок між зміною тиску та зміною відстані:
\[\Delta d = \frac{d}{C} \Delta C \]
де \(\Delta d\) - зміна відстані між пластинами, а \(C\) - відоме значення ємності.
Маємо:
\[\Delta C = \frac{\varepsilon_0 (d + \Delta d) S - \varepsilon_0 d S}{d S}\]
Тут \(\Delta C\) - зміна ємності.
Подставимо в останню отриману рівність значення:
\[\Delta C = \frac{\varepsilon_0 \Delta d S}{d S}\]
Таким чином:
\[\frac{\varepsilon_0 \Delta d S}{d S} = \frac{F}{U^2/2} \Rightarrow
\frac{\varepsilon_0 \Delta d S}{d S} = 2 \frac{\varepsilon_0 S U^2}{d S}\]
Спростимо отримане рівняння:
\[\Delta d = 2 d\]
Таким чином, мінімальні зміни відстані між пластинами, які потрібні, щоб ємкість плаского повітряного конденсатора не змінилася, дорівнюють удвічі зміні відстані між пластинами конденсатора. Таким чином, щоб ємність не змінювалася, необхідно змінити відстань між пластинами на величину, рівну половині вихідної відстані. Можете зафіксувати і перевірити цей результат власноруч, якщо є доступ до необхідних засобів.