Які координати точок ABCD паралелограма знаходяться: A(-2; 3; 2), B(0; 2; -4), C(4; -1; 0)? Знайдіть довжину діагоналі

Для начала давайте найдем координаты точки D параллелограмма. Параллелограмм нимеет две пары параллельных сторон. Стороны AB и CD будут параллельными сторонами. Таким образом, если мы сложим координаты точки A и вектор AB, то получим координаты точки D.

Для вычисления вектора AB, мы вычитаем координаты начальной точки A из координат конечной точки B. Таким образом,

\[
\vec{AB} = (0-(-2), 2-3, -4-2) = (2, -1, -6)
\]

Теперь сложим вектор AB с координатами точки A, чтобы найти координаты точки D:

\[
D = A + \vec{AB} = (-2, 3, 2) + (2, -1, -6) = (0, 2, -4)
\]

Таким образом, координаты точки D параллелограмма равны (0, 2, -4).

Чтобы найти диагональ параллелограмма, мы вычислим расстояние между точками A и C (диагональ AC) и расстояние между точками B и D (диагональ BD). Затем найдем длину любой из этих диагоналей.

Для вычисления длины диагонали AC нам понадобится формула для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\[
d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}}
\]

где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты точек.

Вычислим длину диагонали AC:

\[
d_{AC} = \sqrt{{(4 - (-2))^2 + ((-1) - 3)^2 + (0 - 2)^2}} = \sqrt{{6^2 + (-4)^2 + (-2)^2}} = \sqrt{{36 + 16 + 4}} = \sqrt{{56}} = 2\sqrt{{14}}
\]

Таким образом, длина диагонали AC равна \(2\sqrt{{14}}\).

Перейдем к вычислению диагонали BD:

\[
d_{BD} = \sqrt{{(0 - 2)^2 + (2 - 3)^2 + ((-4) - (-4))^2}} = \sqrt{{(-2)^2 + (-1)^2 + 0^2}} = \sqrt{{4 + 1}} = \sqrt{{5}}
\]

Таким образом, длина диагонали BD равна \(\sqrt{{5}}\).

Ответ: Длина диагонали параллелограмма ABCD равна \(2\sqrt{{14}}\) (AC) и \(\sqrt{{5}}\) (BD).