Каковы объемы параллелепипедов, образовавшихся после проведения вертикального сечения через середину ребра куба

Давайте рассмотрим данную задачу пошагово.

Шаг 1: Рассмотрим куб со стороной \(a\). Заметим, что в кубе все ребра равны между собой, а также все грани куба являются квадратами. Так как нам известно, что проводится вертикальное сечение через середину ребра, то это означает, что проходящая плоскость сечения будет параллельна и перпендикулярна грани куба.

Шаг 2: Мы проводим сечение через середину ребра. Другими словами, мы можем сказать, что это сечение проходит через точку, расположенную на расстоянии \(a/2\) от одной из вершин куба. Обозначим эту точку как \(M\).

Шаг 3: Проведем сечение плоскостью и дадим этому сечению название \(ABCD\), где \(A\) и \(B\) - точки пересечения с ребром куба, а \(C\) и \(D\) - точки на противоположных гранях куба, соединяющиеся отрезком \(CD\).

Шаг 4: Отметим, что получившиеся сечения - это параллелограммы, так как будут параллельными граням куба.

Шаг 5: Теперь обратимся к объему параллелепипеда. Объем параллелепипеда можно найти, умножив площадь одной из граней на высоту этого параллелепипеда. В нашем случае, площадь грани \(ABCD\) будет площадью параллелограмма, образованного сечением, а высота будет равна длине ребра куба.

Шаг 6: Для нахождения площади параллелограмма необходимо знать длину его оснований (сторон) и высоту, проведенную к этим основаниям. В данном случае, мы знаем, что основаниями параллелограмма являются отрезки \(AD\) и \(BC\), а высоту параллелограмма можно найти как разность расстояний от точки \(M\) до противоположных сторон параллелограмма.

Шаг 7: Так как проведенное сечение проходит через середину ребра, то длина отрезка \(AB\) будет \(a/2\), а длина отрезка \(AD\) - это половина стороны куба \(a/2\). Следовательно, длина отрезка \(BC\) также будет \(a/2\).

Шаг 8: Для нахождения высоты параллелограмма необходимо найти разность расстояний от точки \(M\) до противоположных сторон параллелограмма. Так как проведенное сечение проходит через середину ребра, то это означает, что точка \(M\) находится на расстоянии \(a/4\) от каждой из сторон параллелограмма.

Шаг 9: Теперь у нас есть все необходимые данные для нахождения объема параллелепипеда. Площадь параллелограмма \(ABCD\) равна произведению длины отрезка \(AD\) на высоту параллелограмма, то есть \((a/2) \cdot (a/4) = a^2/8\). Высота параллелепипеда равна длине ребра куба, то есть \(a\). Поэтому объем параллелепипеда будет равен произведению площади на высоту, то есть \((a^2/8) \cdot a = a^3/8\).

Ответ: Объем параллелепипеда, образовавшегося после проведения вертикального сечения через середину ребра куба со стороной \(a\), равен \(a^3/8\).