Які гострі кути у прямокутному трикутнику, де катет відноситься до гіпотенузи як 2:5?

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, которая гласит: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

В нашем случае у нас есть отношение между катетом и гипотенузой: катет в 2 раза меньше, чем гипотенуза. Будем обозначать катет через \(x\), а гипотенузу через \(y\).

Из условия задачи, у нас есть следующее соотношение:
\[x : y = 2 : 5\]

Мы также знаем, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
\[y^2 = x^2 + x^2 = 2x^2\]

Теперь мы можем использовать отношение между катетом и гипотенузой, чтобы найти значение катета:
\[x : y = 2 : 5\]
\[2x : y = 2 : 5 \cdot 2\]
\[2x : y = 4 : 10\]
\[2x : y = 2 : 5\]

Таким образом, у нас есть два уравнения, которые справедливы одновременно:
\[\begin{cases} y^2 = 2x^2 \\ 2x : y = 2 : 5 \end{cases}\]

Для решения этой системы уравнений, давайте подставим выражение для \(2x\) из второго уравнения в первое уравнение:
\[(2x)^2 = 2x^2 \cdot \frac{2}{5}\]
\[4x^2 = \frac{4}{5}x^2\]

Теперь давайте приведем это уравнение к общему знаменателю и решим его:
\[4x^2 - \frac{4}{5}x^2 = 0\]
\[\frac{16}{5}x^2 - \frac{4}{5}x^2 = 0\]
\[\frac{12}{5}x^2 = 0\]

Таким образом, у нас есть уравнение, которое равно нулю:
\[\frac{12}{5}x^2 = 0\]

Чтобы решить это уравнение, нам нужно приравнять его к нулю и найти значения \(x\):
\[\frac{12}{5}x^2 = 0\]
\(x^2 = 0\)

Отсюда мы можем сделать вывод, что единственное возможное значение для \(x\) равно 0.

Теперь давайте найдем значение гипотенузы, используя отношение между катетом и гипотенузой:
\[2x : y = 2 : 5\]
\[2 \cdot 0 : y = 2 : 5\]
\[0 : y = 2 : 5\]
\[0 = \frac{2}{5}y\]

Таким образом, мы получаем \(y = 0\).

Итак, в нашем прямоугольном треугольнике, оба катета равны нулю, а значит, у нас нет ни одного острого угла, поскольку треугольник вырождается в отрезок на координатной оси.