Які два додатні числа можна перемножити, щоб отримати найменшу суму квадратів, замість числа 9? Знайдіть суму

Щоб знайти два додатні числа, які, перемножені, дають найменшу суму квадратів замість числа 9, ми спочатку представимо цю задачу у вигляді рівняння.

Позначимо перше число як \(x\) і друге число як \(y\). За даним реченням, ми маємо:

\[x \cdot y = 9\]

Нам потрібно знайти значення суми \(x\) і \(y\), так що:

\[x + y = ?\]

Для пошуку цих чисел, ми спробуємо вирішити дане рівняння за допомогою алгебраїчних методів.

Почнемо з підстановки однієї змінної залежно від іншої. Нехай \(y\) буде залежною від \(x\):

\[y = \frac{9}{x}\]

Тепер, підставляючи це значення \(y\) у рівняння \(x + y = ?\), маємо:

\[x + \frac{9}{x} = ?\]

Для мінімізації суми квадратів, ми можемо використовувати методи диференційного числення. Припустимо, що сума квадратів \(x\) і \(y\) має мінімальну значення:

\[f(x) = x^2 + \left(\frac{9}{x}\right)^2\]

Ми визначимо похідну цієї функції та прирівняємо його до нуля, щоб знайти мінімум:

\[f"(x) = 2x - 2 \cdot \frac{9^2}{x^3} = 0\]

Розв"язавши це рівняння, ми отримаємо значення \(x\):

\[2x - 2 \cdot \frac{9^2}{x^3} = 0\]

\[2x^4 - 162 = 0\]

\[x^4 = \frac{162}{2}\]

\[x^4 = 81\]

\[x = \sqrt[4]{81}\]

Отже, значення \(x\) дорівнює кореню четвертого степеня з 81. За допомогою обчислень, ми отримуємо:

\[x = \sqrt[4]{81} = 3\]

Тепер, використовуючи \(x = 3\), ми можемо знайти значення \(y\):

\[y = \frac{9}{x} = \frac{9}{3} = 3\]

Таким чином, сума цих чисел \(x\) і \(y\) дорівнює:

\[x + y = 3 + 3 = 6\]

Отже, два додатні числа, які можна перемножити, щоб отримати найменшу суму квадратів замість числа 9, це 3 і 3, і їх сума дорівнює 6.