Які будуть об єм і площа поверхні тіла, яке утворюється після обертання рівнобедреного трикутника з кутом при основі

Щоб вирішити цю задачу, нам потрібно знайти об"єм і площу поверхні тіла, що утворюється після обертання рівнобедреного трикутника навколо його основи.

Давайте розглянемо обидва випадки по черзі.

1. Об"єм тіла:
Після обертання рівнобедреного трикутника навколо його основи, утворюється конус. Формула для об"єму конуса виглядає наступним чином:
\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]
де \(V\) - об"єм, \(\pi\) - число пі, \(r\) - радіус основи конуса і \(h\) - висота конуса.

Оскільки дано рівнобедрений трикутник, то ми знаємо, що основа трикутника є колом з радіусом \(r\), а висота \(h\) буде дорівнювати бічній стороні трикутника.

Для знаходження радіуса \(r\) ми можемо скористатися теоремою синусів:
\[\frac{r}{\sin 30^\circ} = \frac{10 \, \text{см}}{\sin 75^\circ}\]

З допомогою тривіальних математичних обчислень, ми отримаємо значення \(r\).

Після знаходження \(r\), ми також можемо знайти висоту \(h\) за теоремою Піфагора:
\[h = \sqrt{10^2 - r^2}\]

Зі значенням \(r\) і \(h\) ми можемо обчислити об"єм \(V\) підставивши їх у формулу для об"єму конуса.

2. Площа поверхні тіла:
Площу поверхні тіла, що утворюється після обертання рівнобедреного трикутника навколо його основи, можна знайти знаходженням площі бічної поверхні конуса та площі основи.

Площа бічної поверхні конуса може бути обчислена за формулою:
\[S_{bp} = \pi r l\]
де \(S_{bp}\) - площа бічної поверхні, \(r\) - радіус основи і \(l\) - обернена гіпотенуза трикутника.

Значення радіуса \(r\) ми знайдемо, як і раніше, за допомогою теореми синусів.

Оскільки у нас є рівнобедрений трикутник, то довжини оберненої гіпотенузи дорівнюватимуть бічній стороні трикутника.

Також ми маємо обчислити площу основи, яка в даному випадку є площею рівностороннього трикутника. Формула для площі такого трикутника:
\[S_{osn} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2\]
де \(S_{osn}\) - площа основи, \(a\) - довжина сторони рівностороннього трикутника, яка в даному випадку буде рівна бічній стороні трикутника.

Отже, ми можемо обчислити площу поверхні тіла підставивши значення \(r\) і \(l\) у формулу площі бічної поверхні та \(a\) у формулу площі основи, і додати ці дві площі.

Таким чином, знайдені значення об"єму і площі поверхні тіла, що утворюється після обертання рівнобедреного трикутника навколо його основи.