Каков радиус окружности с центром o, если угол mbk равен 60 градусам и длина bm составляет 14? Кроме того, требуется

Для начала, давайте нарисуем данную ситуацию:

\[
\begin{array}{ccc}
& o & \\
& \widehat{mbk}=60^\circ & \\
& \underline{\quad\quad} & \underline{\quad\quad} \\
m & \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad & b \\
\end{array}
\]

У нас есть треугольник \(\triangle obm\) с углом \(\widehat{mbk}\), равным \(60^\circ\), и стороной \(bm\), равной 14.

Теперь, чтобы решить задачу, нам нужно использовать свойства треугольников и окружностей.

1. Найдем длину отрезка \(ob\).
- Рассмотрим треугольник \(\triangle obm\). Мы знаем, что угол \(\widehat{mbk}\) равен \(60^\circ\).
- Так как \(om\) является радиусом окружности, а \(bm\) - диаметром, то угол \(\widehat{omb}\) будет прямым углом (\(90^\circ\)).
- Из свойств треугольников, сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\).
- Мы можем найти угол \(\widehat{obm}\) следующим образом: \(180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\).
- Из угла \(\widehat{obm}\) и стороны \(bm\) мы можем применить тригонометрическое соотношение косинуса, чтобы найти длину отрезка \(ob\).
- Косинус угла \(\widehat{obm}\) можно записать следующим образом: \(\cos(30^\circ) = \frac{{ob}}{{bm}}\).
- Подставив известные значения, у нас получается: \(\frac{{ob}}{{14}} = \frac{{\sqrt{3}}}{{2}}\).
- Чтобы найти длину отрезка \(ob\), мы можем перемножить обе стороны на 14: \(ob = \frac{{14 \times \sqrt{3}}}{{2}}\).
- Таким образом, длина отрезка \(ob\) равна \(\frac{{14 \times \sqrt{3}}}{{2}}\) или \(\frac{{7 \sqrt{3}}}{{1}}\).

2. Найдем значения углов треугольника.
- Мы уже знаем, что угол \(\widehat{omb}\) равен \(90^\circ\), потому что это прямой угол.
- Мы также знаем, что угол \(\widehat{obm}\) равен \(30^\circ\), так как мы рассчитали его ранее.
- Наконец, чтобы найти угол \(\widehat{bmo}\), мы можем использовать свойство суммы углов треугольника: \(180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\).
- Таким образом, значения углов треугольника \(\triangle obm\) равны \(90^\circ\), \(30^\circ\) и \(60^\circ\).

Теперь, чтобы найти радиус окружности с центром в точке \(o\), нам нужно знать длину отрезка \(ob\). Мы уже вычислили, что она равна \(\frac{{14 \times \sqrt{3}}}{{2}}\) или \(\frac{{7 \sqrt{3}}}{{1}}\).

Таким образом, радиус окружности с центром \(o\) равен \(\frac{{7 \sqrt{3}}}{{1}}\).