**. Які будуть координати точки Р(1;1), яка перейде внаслідок симетрії відносно деякої точки К, де точка М(7

Чтобы найти координаты точки Р(1;1) после симметрии относительно некоторой точки К, где точка М(7; -1) переходит в точку N(2; -3), давайте следуем следующим шагам:

1. Найдем вектор перехода от точки М до точки N. Для этого вычислим разность координат:
\[\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{M} = (2-7; -3-(-1)) = (-5; -2)\]

2. Заметим, что вектор перехода \(\overrightarrow{MN}\) является вектором между точкой К и ее образом относительно точки М.

3. Так как симметрия - это отражение, вектор перехода от точки M до точки Р должен иметь такое же направление и размер, но в противоположную сторону. Значит, вектор перехода от точки К до точки Р равен \(-\overrightarrow{MN}\).

4. Чтобы найти координаты точки К, мы можем воспользоваться формулой:
\[\overrightarrow{OK} = \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{KM}\]

Здесь O - произвольная точка, через которую мы проводим линию симметрии. Мы можем взять за O начало координат (0, 0). Тогда формула упрощается:
\[\overrightarrow{OK} = \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{KM}\]
\[\overrightarrow{OK} = (7; -1) + (-\overrightarrow{MN}) = (7; -1) + (-(-5); -(-2)) = (7; -1) + (5; 2) = (12; 1)\]

Таким образом, координаты точки К равны (12; 1).

5. Наконец, чтобы найти координаты точки Р, используем формулу:
\[\overrightarrow{OR} = \overrightarrow{OK} + \overrightarrow{KR}\]

Заметим, что \(\overrightarrow{KR} = -\overrightarrow{KM}\), так как векторы \(\overrightarrow{KR}\) и \(\overrightarrow{KM}\) являются образами точки N относительно точки К. Тогда формула упрощается:
\[\overrightarrow{OR} = \overrightarrow{OK} + \overrightarrow{KR}\]
\[\overrightarrow{OR} = (12; 1) + (-\overrightarrow{KM}) = (12; 1) + (-5; -2) = (12-5; 1-2) = (7; -1)\]

Таким образом, координаты точки Р равны (7; -1).

Итак, после симметрии относительно точки К с координатами (12; 1), исходная точка Р(1;1) перейдет в новую точку Р(7; -1).