Яке значення сторони правильного трикутника, який вписаний у коло, вписане у квадрат зі стороною

Хорошо, для начала давайте примем следующие обозначения:
Пусть сторона квадрата равна \( s \).
Пусть сторона правильного треугольника, вписанного в это окружность, равна \( a \).

Теперь рассмотрим данный треугольник. Внутри круга его точки касания с окружностью делят стороны треугольника на три равных части. Это можно увидеть на рисунке ниже:

  A        B

  ------------

  |          |

  |    O     |

  |          |

  ------------

  C        D

Точки \( A \) и \( C \) делят сторону квадрата пополам, поэтому длины отрезков \( AO \) и \( OB \) равны \( \frac{s}{2} \).
Точки \( B \) и \( D \) также делят сторону квадрата пополам, поэтому длины отрезков \( BO \) и \( OD \) также равны \( \frac{s}{2} \).

Теперь вспомним некоторые свойства треугольника, вписанного в окружность:

Сумма углов при основаниях равна \( 180^\circ \), а это значит, что угол \( OAD \) и угол \( OAB \) равны половине суммы углов при основании. То есть каждый из этих углов равен \( \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ \).
Так как угол \( OAD \) прямой, то треугольник \( OAD \) - прямоугольный.

Теперь давайте рассмотрим прямоугольный треугольник \( OAD \):

  A

  |

  |\

h | \

  |  \

  |   \ D

  ------

    b

В этом треугольнике можно заметить следующее:

- Сторона \( AD \) — это длина отрезка \( AO \), который равен \( \frac{s}{2} \).
- Сторона \( OD \) — это длина отрезка \( OC \), который также равен \( \frac{s}{2} \).
- Сторона \( OA \) — это радиус окружности, проведенный из центра к точке \( A \). Радиус окружности равен половине диагонали квадрата и, следовательно, равен \( \frac{s}{\sqrt{2}} \).

Мы хотим найти сторону правильного треугольника \( a \). Так как треугольник \( OAD \) прямоугольный, мы можем использовать теорему Пифагора:

\[ (AD)^2 = (OA)^2 + (OD)^2 \]
\[ \left(\frac{s}{2}\right)^2 = \left(\frac{s}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{s}{2}\right)^2 \]
\[ \frac{s^2}{4} = \frac{s^2}{2} + \frac{s^2}{4} \]

Теперь упростим это уравнение:

\[ \frac{s^2}{4} - \frac{s^2}{2} - \frac{s^2}{4} = 0 \]

Сокращаем дроби и выносим \( s^2 \) за скобки:

\[ 0 = \frac{s^2}{4}\left(1 - 2 - 1\right) \]

\[ 0 = \frac{s^2}{4}(-2) \]

Теперь у нас есть уравнение \( 0 = -2s^2 \). Значит, \( s^2 = 0 \).

Но так как стороны должны быть положительными, истиным решением этого уравнения является \( s = 0 \).

Из этого следует, что сторона квадрата, а следовательно и сторона правильного треугольника, вписанного в этот круг и вписанного в квадрат, равна \( 0 \).