Яке значення х призводить до довжини вектора а, рівної 5, якщо a(x+2)?

Щоб знайти значення х, яке призводить до довжини вектора а, рівної 5, спочатку нам потрібно знайти довжину вектора а. За формулою довжини вектора \(\|a\| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}\), де \(a_x\), \(a_y\) і \(a_z\) - компоненти вектора а, ми маємо \(\|a\| = 5\).

Так як а виражений як \(a(x+2)\), то компоненти вектора а мають вигляд \(a_x = a(x+2)\), \(a_y = 0\) і \(a_z = 0\). Підставимо ці значення в формулу довжини вектора:

\(\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} = \sqrt{(a(x+2))^2 + 0^2 + 0^2} = 5\).

Тепер ми можемо розв"язати це рівняння для знаходження значення х. Розкривши скобки і скоротивши подібні члени, маємо:

\(\sqrt{a^2(x+2)^2} = 5\).

Для того, щоб позбутися кореня, піднесемо обидві частини рівняння до квадрата:

\(a^2(x+2)^2 = 5^2\).

Далі розв"язуємо рівняння для знаходження значення х. Розкривши скобки, отримуємо:

\(a^2(x^2 + 4x + 4) = 25\).

Розкривши дужки і порівнявши коефіцієнти при \(x^2\) і \(x\) з обох боків рівності, отримаємо:

\(a^2x^2 + 4a^2x + 4a^2 = 25\).

Це квадратне рівняння має вигляд \(ax^2 + bx + c = 0\), де \(a = a^2\), \(b = 4a^2\) і \(c = 4a^2 - 25\).

Розв"язуємо квадратне рівняння відносно x. Маємо:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\).

Підставимо значення a, b і c в цю формулу:

\(x = \frac{-4a^2 \pm \sqrt{(4a^2)^2 - 4a^2(4a^2 - 25)}}{2a}\).

Скоротивши подібні члени та спрощуючи вираз, маємо:

\(x = \frac{-4a^2 \pm \sqrt{16a^4 - 16a^4 + 100a^2}}{2a}\).

\(x = \frac{-4a^2 \pm \sqrt{100a^2}}{2a}\).

\(x = \frac{-4a^2 \pm 10a}{2a}\).

Здійснюємо додавання/віднімання та спрощуємо вираз, маємо:

\(x = \frac{2a}{a}\) або \(x = \frac{-6a}{a}\).

Таким чином, значення х, яке призводить до довжини вектора а, рівної 5, є 2 або -6.