Яке відношення між об ємами цих кубів знаходиться, якщо ребро одного куба дорівнює діагоналі грані другого куба?

Добрый день! Чтобы решить данную задачу, давайте сначала взглянем на свойства кубов.

1. Ребро куба: Ребро куба - это отрезок, который соединяет две противоположные вершины. В данной задаче мы имеем два куба.

2. Диагональ грани: Диагональ грани куба это отрезок, который соединяет две противоположные вершины одной и той же грани.

Теперь перейдем к решению задачи.

Пусть ребро первого куба равно \(a\), а ребро второго куба равно \(b\). По условию задачи мы знаем, что диагональ грани второго куба равна ребру первого куба. Обозначим эту диагональ грани второго куба через \(d\).

Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника диагональ \(d\) грани куба равна квадратному корню из суммы квадратов катетов. В нашем случае, диагональ грани равна \(d = \sqrt{b^2 + b^2}\) или \(d = \sqrt{2b^2}\).

Таким образом, мы имеем уравнение: \(d = \sqrt{2b^2}\).

По условию, также известно, что диагональ грани второго куба равна ребру первого куба. Поэтому, \(a = d\).

Теперь мы можем приравнять выражения для \(a\) и \(d\):

\[a = \sqrt{2b^2}\]

Для того чтобы найти отношение между обьёмами кубов, нам нужно выразить \(b\) через \(a\).

Возводим обе части уравнения в квадрат:

\[a^2 = 2b^2\]

Поделим обе части уравнения на 2:

\[\frac{a^2}{2} = \frac{2b^2}{2}\]

Таким образом мы получаем:

\[\frac{a^2}{2} = b^2\]

Далее, возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:

\[\sqrt{\frac{a^2}{2}} = \sqrt{b^2}\]

Упрощаем:

\[\frac{a}{\sqrt{2}} = b\]

Итак, мы выразили \(b\) через \(a\) и получили искомое отношение между ребрами кубов:

\[\frac{b}{a} = \frac{1}{\sqrt{2}}\]

Таким образом, отношение между обьёмами этих кубов равно:

\[\left(\frac{b}{a}\right)^3 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3\]

Или:

\[\frac{V_2}{V_1} = \frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}\]

Ответ: Отношение между обьёмами кубов равно \(\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}\).