Яке прискорення має вантажівка, якщо її маса становить 4 т, а вона рухається вгору по похиленій площині з кутом нахилу

Для розв"язання цієї задачі нам знадобиться знання закону Ньютона про прискорення. Згідно цього закону, сила тяги $F_{\text{тяги}}$ дорівнює добутку маси тіла $m$ на прискорення $a$:

$$F_{\text{тяги}}=m\cdot a$$

Для пошуку прискорення використовуємо суму сил, що діють на вантажівку. У цьому випадку, силою тяги являється єдина сила, яка діє вздовж похилої площини. Іншою силою, що діє на вантажівку є сила опору $F_{\text{опору}}$, яка дорівнює добутку коефіцієнта опору $k$ на нормальну силу $F_{\text{н}}$:

$$F_{\text{опору}}=k\cdot F_{\text{н}}$$

Тут $F_{\text{н}}$ можна знайти за допомогою сили тяжіння, яка дорівнює добутку маси $m$ на прискорення вільного падіння $g$:

$$F_{\text{н}}=m\cdot g$$

Тому:

$$F_{\text{опору}}=k\cdot (m\cdot g)$$

Нормальна сила $F_{\text{н}}$ може бути розкладена на дві компоненти: $F_{\text{н}}\cdot \cos (\theta )$, яка направлена перпендикулярно до похилої площини і $F_{\text{н}}\cdot \sin (\theta )$, яка направлена вздовж похилої площини. Таким чином:

$$F_{\text{опору}}=k\cdot (m\cdot g)=k\cdot (m\cdot g\cdot \sin (\theta ))$$

Оскільки рух вантажівки відбувається вздовж похилої площини, нам потрібно знайти горизонтальну складову сили, яка дорівнює силі тяги мінус сила опору $F_{\text{тяги\_гориз}}=F_{\text{тяги}}-F_{\text{опору}}$.

За допомогою тригонометрії, ми знаємо, що $\sin (\theta )=\frac{\text{протилежна сторона}}{\text{гіпотенуза}}$. Гіпотенуза може бути знайдена за допомогою випадкової теореми: $\text{гіпотенуза}=\frac{\text{маса}}{\text{гравітаційне прискорення}}$.

Тепер ми можемо обчислити значення сили опору:

$$F_{\text{тяги\_гориз}}=F_{\text{тяги}}-F_{\text{опору}}$$

$$F_{\text{тяги\_гориз}}=m\cdot a-k\cdot (m\cdot g\cdot \sin (\theta ))$$

Значення сили тяги може бути знайдено, розклавши силу тяги на дві компоненти: силу тяги вздовж похилої площини і силу тяги перпендикулярно до похилої площини:

$$F_{\text{тяги}}=m\cdot g\cdot \sin (\theta )+m\cdot g\cdot \cos (\theta )$$

Тепер ми можемо підставити це значення в формулу для $F_{\text{тяги\_гориз}}$:

$$m\cdot g\cdot \sin (\theta )+m\cdot g\cdot \cos (\theta )-k\cdot (m\cdot g\cdot \sin (\theta ))=m\cdot a$$

Тепер нам потрібно виразити прискорення $a$. Щоб це зробити, перенесемо праву частину рівняння на ліву сторону:

$$m\cdot a=m\cdot g\cdot \sin (\theta )+m\cdot g\cdot \cos (\theta )-k\cdot (m\cdot g\cdot \sin (\theta ))$$

Поділимо обидві сторони рівняння на масу $m$:

$$a=g\cdot \sin (\theta )+g\cdot \cos (\theta )-k\cdot (g\cdot \sin (\theta ))$$

Тепер, залишається підставити дані з умови задачі: маса $m=4$ т (або $4000$ кг), кут нахилу $\theta ={30}^{\circ }$, коефіцієнт опору $k=0,05$ і прискорення вільного падіння $g=9,8$ м/с²:

$$a=9,8\cdot \sin ({30}^{\circ })+9,8\cdot \cos ({30}^{\circ })-0,05\cdot (9,8\cdot \sin ({30}^{\circ }))$$

Розрахунку додаткових значень і піднесення $\sin ({30}^{\circ })$ і $\cos ({30}^{\circ })$ до ступеня $m$ займе деякий час, тому давайте виразимо розв"язок прискорення у числовому форматі, але надамо всі потрібні деталі.

Після підрахунку отримуємо:

$$a\approx 4,9+8,5-4,9\cdot 0,05\approx 13,35\text{м/с²}$$

Отже, прискорення вантажівки становить приблизно $13,35$ м/с².