Яка ймовірність отримати 2 чоловіків і 2 жінки з чотирьох білетів, які розігруються серед 5 хлопців і 3 дівчат?

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать комбинаторику и правило произведения, чтобы найти вероятность получения двух мужчин и двух женщин из четырех билетов.

Сначала давайте рассмотрим количество способов выбора 2 мужчин из 5 и 2 женщин из 3. Мы можем использовать формулы биномиальных коэффициентов, чтобы найти это количество.

Количество способов выбора 2 мужчин из 5: \(\binom{5}{2}\).
Количество способов выбора 2 женщин из 3: \(\binom{3}{2}\).

Чтобы найти вероятность, мы должны разделить количество способов получить нужный результат на общее количество возможных исходов. Общее количество возможных исходов - это количество способов выбора 4 человек из 8 (5 мужчин и 3 женщины), то есть \(\binom{8}{4}\).

Тогда вероятность получить 2 мужчин и 2 женщины можно рассчитать следующим образом:

\[
P(\text{{2 мужчины и 2 женщины}}) = \frac{{\text{{количество способов выбора 2 мужчин}} \times \text{{количество способов выбора 2 женщин}}}}{{\text{{общее количество возможных исходов}}}}
\]

Подставляя значения, мы получим:

\[
P(\text{{2 мужчины и 2 женщины}}) = \frac{{\binom{5}{2} \times \binom{3}{2}}}{{\binom{8}{4}}}
\]

Вычислим значения биномиальных коэффициентов:

\[
\binom{5}{2} = \frac{{5!}}{{2!(5-2)!}} = \frac{{5!}}{{2!3!}} = \frac{{5 \times 4 \times 3!}}{{2! \times 3!}} = \frac{{5 \times 4}}{{2}} = 10
\]

\[
\binom{3}{2} = \frac{{3!}}{{2!(3-2)!}} = \frac{{3!}}{{2!1!}} = \frac{{3 \times 2 \times 1!}}{{2! \times 1!}} = \frac{{3 \times 2}}{{2}} = 3
\]

\[
\binom{8}{4} = \frac{{8!}}{{4!(8-4)!}} = \frac{{8!}}{{4!4!}} = \frac{{8 \times 7 \times 6 \times 5!}}{{4! \times 4 \times 3!}} = \frac{{8 \times 7}}{{4}} = 70
\]

Подставляем значения в формулу вероятности:

\[
P(\text{{2 мужчины и 2 женщины}}) = \frac{{10 \times 3}}{{70}} = \frac{{30}}{{70}} = \frac{{3}}{{7}}
\]

Таким образом, вероятность получить 2 мужчин и 2 женщины из четырех выбранных билетов равна \(\frac{{3}}{{7}}\).