Яка висота твірного конуса і яка площа осьового перерізу, якщо його нахилено до площини основи під кутом 30° і радіус

Для решения этой задачи мы можем использовать тригонометрию и геометрию. Давайте начнем с определения некоторых понятий.

Висота твірного конуса - это расстояние от вершины конуса до плоскости основания. Осевой переріз - это сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину и параллельной основанию. Площадь осьового перерізу - это площадь этого сечения.

Дано, что конус наклонен к плоскости основания под углом 30° и радиус основания равен \( r \).

Для начала найдем высоту конуса. Обозначим высоту как \( h \).

Для этого мы можем использовать тригонометрическое отношение тангенса. В этом случае, тангенс 30° будет равен отношению высоты к радиусу основания:

\[
\tan(30^\circ) = \frac{h}{r}
\]

Так как мы знаем, что тангенс 30° равен \( \frac{1}{\sqrt{3}} \), то мы можем решить это уравнение относительно \( h \):

\[
\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{r}
\]

Умножим обе стороны уравнения на \( r \), чтобы избавиться от знаменателя:

\[
\frac{r}{\sqrt{3}} = h
\]

Теперь у нас есть формула для вычисления высоты конуса в зависимости от радиуса основания.

Далее рассмотрим площадь осьового перерізу. Обозначим эту площадь как \( S \).

Площадь осьового перерізу можно найти, используя геометрическое свойство подобности фигур. Поскольку сечение параллельно основанию, оно будет подобно основанию, то есть их формы будут одинаковыми.

Таким образом, отношение площадей осьового перерізу и основания будет равно квадрату отношения длин соответствующих сторон:

\[
\frac{S}{\pi r^2} = \left(\frac{h}{r}\right)^2
\]

Подставим значение \( \frac{h}{r} \) из предыдущего шага:

\[
\frac{S}{\pi r^2} = \left(\frac{r}{\sqrt{3}r}\right)^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3}
\]

Умножим обе стороны равенства на \( \pi r^2 \), чтобы избавиться от знаменателя:

\[
S = \frac{1}{3} \times \pi r^2
\]

Таким образом, высота твірного конуса равна \( \frac{r}{\sqrt{3}} \), а площадь осьового перерізу равна \( \frac{1}{3} \times \pi r^2 \).

Надеюсь, эти объяснения были понятными и помогли вам понять решение задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я готов помочь!