Яка висота циліндра, площа поверхні якого дорівнює площі поверхні кулі з діаметром 2r, а радіус основи циліндра

Для решения данной задачи нам понадобятся некоторые формулы и определения.

1. Формула для площади поверхности цилиндра: \(S_{\text{цил}} = 2\pi r_{\text{цил}}(h_{\text{цил}}+r_{\text{цил}})\), где \(S_{\text{цил}}\) - площадь поверхности цилиндра, \(r_{\text{цил}}\) - радиус основания цилиндра, \(h_{\text{цил}}\) - высота цилиндра.

2. Формула для площади поверхности сферы: \(S_{\text{сф}} = 4\pi r_{\text{сф}}^2\), где \(S_{\text{сф}}\) - площадь поверхности сферы, \(r_{\text{сф}}\) - радиус сферы.

3. Для кули с диаметром \(d\) радиус вычисляется по формуле \(r_{\text{кул}} = \frac{d}{2}\).

Исходя из условия задачи, площадь поверхности цилиндра равна площади поверхности кули:
\[2\pi r_{\text{цил}}(h_{\text{цил}}+r_{\text{цил}}) = 4\pi r_{\text{кул}}^2\]
Подставив \(r_{\text{кул}} = \frac{d}{2}\), получим:
\[2\pi r_{\text{цил}}(h_{\text{цил}}+r_{\text{цил}}) = 4\pi \left(\frac{d}{2}\right)^2\]

Упростим уравнение:

\[2\pi r_{\text{цил}}(h_{\text{цил}}+r_{\text{цил}}) = 4\pi \frac{d^2}{4}\]
\[\pi r_{\text{цил}}(h_{\text{цил}}+r_{\text{цил}}) = \pi \frac{d^2}{2}\]
\[r_{\text{цил}}(h_{\text{цил}}+r_{\text{цил}}) = \frac{d^2}{2}\]
\[r_{\text{цил}}h_{\text{цил}} + r_{\text{цил}}^2 = \frac{d^2}{2}\]

Теперь выразим высоту цилиндра \(h_{\text{цил}}\):
\[h_{\text{цил}} = \frac{d^2}{2r_{\text{цил}}} - r_{\text{цил}}\]

Таким образом, чтобы найти высоту цилиндра с площадью поверхности, равной площади поверхности кули, нужно подставить значение радиуса основания цилиндра \(r_{\text{цил}}\) и радиуса кули \(r_{\text{кул}} = \frac{d}{2}\) в формулу:
\[h_{\text{цил}} = \frac{d^2}{2r_{\text{цил}}} - r_{\text{цил}}\]

Например, если радиус основания цилиндра \(r_{\text{цил}} = 3\) и диаметр кули \(d = 8\), то высота цилиндра будет:
\[h_{\text{цил}} = \frac{8^2}{2 \cdot 3} - 3 = \frac{64}{6} - 3 = \frac{32}{3} - 3 = \frac{32 - 9}{3} = \frac{23}{3}\]

Ответ: Высота цилиндра, площадь поверхности которого равна площади поверхности кули с диаметром \(2r\), а радиус основы цилиндра \(r_{\text{цил}}\), равна \(\frac{d^2}{2r_{\text{цил}}} - r_{\text{цил}}\).