Яка відстань від точки D до сторін трапеції ABCD (BC ‖ AD), якщо точка S знаходиться на відстані √7 від площини

Щоб знайти відстань від точки D до сторін трапеції ABCD, розглянемо сторони трапеції і скористаємося властивостями геометричних фігур.

За умовою задачі, точка S знаходиться на відстані \(\sqrt{7}\) від площини трапеції і рівновіддалена від сторін. За властивостями трапеції, якщо точка рівновіддалена від сторін, то вона лежить на серединній перпендикулярі.

Таким чином, точка S розташована на серединній перпендикулярі до сторони BC та сторони AD. Позначимо точку перетину цього перпендикуляра і сторони BC як E, а точку перетину перпендикуляра і сторони AD як F.

Оскільки сторона BC паралельна стороні AD, то ми можемо використовувати властивості подібних трикутників. Подібні трикутники ADC і BEC, а також DBC і ACF.

Кут ADC дорівнює 45 градусів. Оскільки ADC та BEC є подібними, кут BEC також дорівнює 45 градусів.

Розглянемо трикутник BEC. Застосуємо властивості подібних трикутників:
\[\frac{EB}{BE+BC} = \frac{BC}{AD}\]

Оскільки точка E є серединною точкою сторони BC, то BE = EC = \(\frac{BC}{2}\). Тому:
\[\frac{\frac{BC}{2}}{\frac{BC}{2}+BC} = \frac{BC}{AD}\]

Скоротимо це рівняння:
\[\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+1} = \frac{BC}{AD}\]
\[\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+\frac{2}{2}} = \frac{BC}{AD}\]
\[\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{BC}{AD}\]
\[\frac{1}{3} = \frac{BC}{AD}\]

Отримали відношення сторін трикутників BEC і ADC. За теоремою Фалеса відомо, що якщо у двох трикутників відношення сторін однакове, то ці трикутники подібні.

Таким чином, трикутник BEC і ADC є подібними.

Тепер, для того щоб знайти відстань від точки D до сторін трапеції ABCD, розглянемо трикутник ACF, який так само є подібним трикутнику DBC.

За умовою задачі, CD = 12 см і BC є серединною лінією трапеції ABCD, тому BC = 2 \(\times\) CD = 2 \(\times\) 12 = 24 см.

Так як трикутник BEC і ADC є подібними, це означає, що відношення сторін цих трикутників дорівнює:
\[\frac{BC}{AD} = \frac{EC}{DC}\]
\[\frac{24}{AD} = \frac{\frac{BC}{2}}{DC}\]
\[\frac{24}{AD} = \frac{\frac{24}{2}}{12}\]
\[\frac{24}{AD} = \frac{12}{12}\]
\[\frac{24}{AD} = 1\]

Отримали рівняння:
\[\frac{24}{AD} = 1\]

Розв"яжемо його:
\[24 = AD\]
\[AD = 24\ \text{см}\]

Отже, відстань від точки D до сторін трапеції ABCD дорівнює 24 см.