Яка є сума перших дев яти членів арифметичної прогресії, якщо відомо, що а1+а4+а10=18?

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой для суммы членов арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается путем прибавления одного и того же числа (называемого разностью) к предыдущему члену.

Дано, что \(a_1 + a_4 + a_{10} = 18\). Мы хотим найти сумму первых девяти членов прогрессии, то есть \(a_1 + a_2 + ... + a_9\).

Первый шаг состоит в вычислении значения разности прогрессии. Для этого вычтем \(a_1\) из \(a_4\):

\[a_4 - a_1 = (a_1 + 3d) - a_1 = 3d\]

Здесь \(d\) - это разность прогрессии.

Теперь вычтем \(a_1\) из \(a_{10}\):

\[a_{10} - a_1 = (a_1 + 9d) - a_1 = 9d\]

Мы знаем, что \(a_4 - a_1 + a_{10} - a_1 = 18\), поэтому можем записать уравнение:

\[3d + 9d = 18\]

Складывая коэффициенты при разностях прогрессии, получаем:

\[12d = 18\]

Теперь поделим обе части уравнения на 12:

\[d = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}\]

Таким образом, у нас есть значение разности прогрессии \(d = \frac{3}{2}\).

Теперь мы можем найти значение первого члена прогрессии \(a_1\). Для этого вычтем \(3d\) из \(a_4\):

\[a_4 - 3d = (a_1 + 3d) - 3d = a_1\]

Подставим значение \(d = \frac{3}{2}\):

\[a_1 = a_4 - 3d = (a_1 + \frac{9}{2}) - \frac{9}{2} = a_1\]

Мы получаем уравнение:

\[a_1 = a_1\]

Таким образом, значение первого члена прогрессии \(a_1\) может быть любым числом.

Наконец, мы можем найти сумму первых девяти членов прогрессии, воспользовавшись формулой:

\[S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)\]

Где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(d\) - разность прогрессии.

Мы знаем, что \(n = 9\) и \(d = \frac{3}{2}\), но \(a_1\) может быть любым числом. Таким образом, сумма первых девяти членов прогрессии зависит от значения \(a_1\). Если бы было дано конкретное значение \(a_1\), мы могли бы подставить его в формулу и найти сумму.