Яка сума нескінченної геометричної прогресії bn, якщо b1 + b3 = 20 і b2 + b4

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства геометрической прогрессии и систему уравнений.

Пусть первый член геометрической прогрессии равен \( b_1 \) и знаменатель равен \( q \). Тогда общий член прогрессии имеет вид:

\[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \]

Дано, что сумма первого и третьего членов равна 20:

\[ b_1 + b_3 = 20 \]

Подставляя выражение для \( b_n \), получаем:

\[ b_1 + b_1 \cdot q^2 = 20 \]

Также дано, что сумма второго и четвертого членов равна \( S \):

\[ b_2 + b_4 = S \]

Подставляем выражение для \( b_n \):

\[ b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^3 = S \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[
\begin{cases}
b_1 + b_1 \cdot q^2 = 20 \\
b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^3 = S
\end{cases}
\]

Чтобы найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, мы должны сначала узнать, когда такая сумма существует. Для этого нам нужно узнать, при каких значениях \( q \) сходится прогрессия, то есть когда \( |q| < 1 \).

Решив первое уравнение относительно \( b_1 \), получаем:

\[ b_1 = \frac{20}{1+q^2} \]

Подставляем это значение во второе уравнение:

\[ \frac{20q}{1+q^2} + \frac{20q^3}{1+q^2} = S \]

Сокращаем общий знаменатель и упрощаем уравнение:

\[ \frac{20q+20q^3}{1+q^2} = S \]

Раскрываем скобки:

\[ 20q+20q^3 = S(1+q^2) \]

Делим обе части уравнения на 20:

\[ q+q^3 = \frac{S(1+q^2)}{20} \]

Мы получили кубическое уравнение относительно \( q \):

\[ q^3 + q - \frac{S(1+q^2)}{20} = 0 \]

Решая это уравнение, мы найдем значения \( q \), при которых прогрессия сходится. После нахождения корней \( q \) можно подставить их в первое уравнение и найти соответствующие значения \( b_1 \). Подставив \( b_1 \) и \( q \) в формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии, мы найдем искомую сумму.