Яка є середня шляхова та середня векторна швидкість матеріальної точки, яка рухається по дузі окружності радіусом 4 метри і описує половину дуги цієї окружності? У першій чверті окружності точка рухається зі швидкістю 2 метри за секунду, а в другій чверті - зі швидкістю 8 метрів за секунду.
Витальевна
Для решения этой задачи нам необходимо вычислить среднюю шляховую и векторную скорость материальной точки, движущейся по дуге окружности.
Средняя шляховая скорость определяется как отношение пройденного пути к затраченному времени. В данном случае, пройденный путь равен половине длины дуги окружности, так как мы рассматриваем только половину дуги. Длина дуги окружности можно вычислить по формуле \(L = r \cdot \theta\), где \(r\) - радиус окружности, а \(\theta\) - величина угла в радианах. В данной задаче угол \(\theta\) равен \(\pi\) (половина дуги окружности).
Таким образом, пройденный путь будет равен \(L = 4 \cdot \pi\). Теперь у нас есть пройденный путь. Чтобы найти среднюю шляховую скорость, нужно разделить пройденный путь на время. По условию, точка движется со скоростью 2 метра в секунду в первой четверти и со скоростью 8 метров в секунду во второй четверти. Поскольку точка половину времени движется со скоростью 2 метра в секунду, а в другую половину времени - со скоростью 8 метров в секунду, и среднее значение двух скоростей равно средней шляховой скорости, то средняя шляховая скорость будет равна среднему значению этих двух скоростей.
Таким образом, средняя шляховая скорость будет равна:
\[
V_{\text{ср. шл.}} = \frac{L}{T} = \frac{4 \cdot \pi}{\frac{T}{2} + \frac{T}{2}} = \frac{4 \cdot \pi}{T}
\]
где \(T\) - период, то есть время, за которое точка проходит половину длины дуги окружности.
Теперь рассмотрим векторную скорость. Векторная скорость определяется как производная вектора перемещения по времени. В случае равномерного движения по окружности, вектор перемещения совпадает с радиусом окружности. Так как точка движется с постоянной скоростью, вектор перемещения будет направлен по радиусу окружности и иметь постоянную величину, равную радиусу окружности.
Теперь нам нужно вычислить величину векторной скорости. Векторная скорость \(V_{\text{вект}}\) выражается через радиус окружности \(r\) и угловую скорость \(\omega\) следующим образом: \(V_{\text{вект}} = r \cdot \omega\). Угловая скорость \(\omega\) выражается через угловую величину \(\theta\) и время, за которое точка проходит половину дуги окружности, таким образом: \(\omega = \frac{\theta}{T}\).
Теперь у нас есть все необходимые формулы для вычисления средней шляховой и векторной скоростей. Давайте подставим значения и посчитаем:
\[
V_{\text{ср. шл.}} = \frac{4 \cdot \pi}{T}
\]
\[
V_{\text{вект}} = r \cdot \omega = 4 \cdot \frac{\pi}{T}
\]
Таким образом, средняя шляховая скорость будет равна \(\frac{4 \cdot \pi}{T}\), а векторная скорость будет равна \(4 \cdot \frac{\pi}{T}\).
Надеюсь, это объяснение помогло вам понять решение задачи. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.
Средняя шляховая скорость определяется как отношение пройденного пути к затраченному времени. В данном случае, пройденный путь равен половине длины дуги окружности, так как мы рассматриваем только половину дуги. Длина дуги окружности можно вычислить по формуле \(L = r \cdot \theta\), где \(r\) - радиус окружности, а \(\theta\) - величина угла в радианах. В данной задаче угол \(\theta\) равен \(\pi\) (половина дуги окружности).
Таким образом, пройденный путь будет равен \(L = 4 \cdot \pi\). Теперь у нас есть пройденный путь. Чтобы найти среднюю шляховую скорость, нужно разделить пройденный путь на время. По условию, точка движется со скоростью 2 метра в секунду в первой четверти и со скоростью 8 метров в секунду во второй четверти. Поскольку точка половину времени движется со скоростью 2 метра в секунду, а в другую половину времени - со скоростью 8 метров в секунду, и среднее значение двух скоростей равно средней шляховой скорости, то средняя шляховая скорость будет равна среднему значению этих двух скоростей.
Таким образом, средняя шляховая скорость будет равна:
\[
V_{\text{ср. шл.}} = \frac{L}{T} = \frac{4 \cdot \pi}{\frac{T}{2} + \frac{T}{2}} = \frac{4 \cdot \pi}{T}
\]
где \(T\) - период, то есть время, за которое точка проходит половину длины дуги окружности.
Теперь рассмотрим векторную скорость. Векторная скорость определяется как производная вектора перемещения по времени. В случае равномерного движения по окружности, вектор перемещения совпадает с радиусом окружности. Так как точка движется с постоянной скоростью, вектор перемещения будет направлен по радиусу окружности и иметь постоянную величину, равную радиусу окружности.
Теперь нам нужно вычислить величину векторной скорости. Векторная скорость \(V_{\text{вект}}\) выражается через радиус окружности \(r\) и угловую скорость \(\omega\) следующим образом: \(V_{\text{вект}} = r \cdot \omega\). Угловая скорость \(\omega\) выражается через угловую величину \(\theta\) и время, за которое точка проходит половину дуги окружности, таким образом: \(\omega = \frac{\theta}{T}\).
Теперь у нас есть все необходимые формулы для вычисления средней шляховой и векторной скоростей. Давайте подставим значения и посчитаем:
\[
V_{\text{ср. шл.}} = \frac{4 \cdot \pi}{T}
\]
\[
V_{\text{вект}} = r \cdot \omega = 4 \cdot \frac{\pi}{T}
\]
Таким образом, средняя шляховая скорость будет равна \(\frac{4 \cdot \pi}{T}\), а векторная скорость будет равна \(4 \cdot \frac{\pi}{T}\).
Надеюсь, это объяснение помогло вам понять решение задачи. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.
Знаешь ответ?