Яка середня квадратична швидкість молекул газу з масою 6 кг при об ємі 5 м^3 та тиску 200 кПа?

Для решения задачи о средней квадратичной скорости молекул газа, нам нужно использовать формулу:

\[v = \sqrt{\frac{3kT}{m}}\]

Где \(v\) - средняя квадратичная скорость молекул газа, \(k\) - постоянная Больцмана (\(1.38 \times 10^{-23} \, \text{Дж/К}\)), \(T\) - температура в кельвинах, \(m\) - масса молекулы газа в килограммах.

Изначально нам даны масса молекулы газа \(m = 6 \, \text{кг}\), объем газа \(V = 5 \, \text{м}^3\) и давление газа \(P = 200 \, \text{кПа}\).

Перейдем к температуре газа. Для этого воспользуемся уравнением состояния идеального газа:

\[PV = nRT\]

Где \(n\) - количество вещества газа (в молях), \(R\) - универсальная газовая постоянная (\(8.31 \, \text{Дж/(моль} \cdot \text{К)}\)), \(T\) - температура в кельвинах.

Перейдем к решению уравнения состояния идеального газа:

\[n = \frac{m}{M}\]

Где \(M\) - молярная масса газа. Найдем эту величину через молекулярную массу \(m_{\text{молекулы}}\) и постоянную Авогадро \(N_a\) (\(6.02 \times 10^{23} \, \text{моль}^{-1}\)):

\[M = m_{\text{молекулы}} \cdot N_a\]

Окончательно получаем:

\[n = \frac{m}{m_{\text{молекулы}} \cdot N_a}\]

Теперь мы можем подставить полученное значение количества вещества газа \(n\) в уравнение состояния идеального газа:

\[PV = \left(\frac{m}{m_{\text{молекулы}} \cdot N_a}\right)RT\]

Из этого уравнения мы можем выразить температуру:

\[T = \frac{PV \cdot m_{\text{молекулы}}}{m \cdot R \cdot N_a}\]

Подставим значения в формулу для средней квадратичной скорости:

\[v = \sqrt{\frac{3 \cdot k \cdot T}{m}} = \sqrt{\frac{3 \cdot k \cdot \left(\frac{PV \cdot m_{\text{молекулы}}}{m \cdot R \cdot N_a}\right)}{m}}\]

Теперь остается только подставить значения и выполнить вычисления:

\[v = \sqrt{\frac{3 \cdot 1.38 \times 10^{-23} \cdot \left(\frac{200 \cdot 10^3 \cdot 5 \cdot m_{\text{молекулы}}}{6 \cdot 8.31 \cdot 10^{3} \cdot 6.02 \times 10^{23}}\right)}{6}}\]

После выполнения всех расчетов мы получаем итоговое значение средней квадратичной скорости молекул газа.