Яка площа трикутника а1в1с1, який є ортогональною проекцією трикутника авс і має площини авс зі сторонами 7 см, 17

Чтобы найти площадь треугольника \(А1В1С1\), который является ортогональной проекцией треугольника \(АВС\) и имеет стороны длиной 7 см, 17 см и 18 см, мы можем использовать следующую формулу:

\[ Площадь_{А1В1С1} = Площадь_{АВС} \times \cos^2(Угол_{между\ плоскостями_{АВС\ и\ А1В1С1}}) \]

Разберемся сначала с площадью треугольника \(АВС\). Для этого мы можем использовать формулу Герона:

\[ Площадь_{АВС} = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)} \]

где \( p = \frac{a + b + c}{2} \), а \( a \), \( b \) и \( c \) - длины сторон треугольника \( АВС \).

После нахождения площади треугольника \( АВС \), нам останется найти косинус квадрата угла между плоскостью треугольника \( АВС \) и плоскостью треугольника \( А1В1С1 \).

Чтобы найти косинус угла между плоскостями, мы можем использовать формулу:

\[ \cos(Угол) = \frac{N_{заданной}}{N_{АВС} \cdot N_{А1В1С1}} \]

Где \( N \) - нормаль к плоскости треугольника, а \( N_{заданной} \) - векторное произведение \( N_{АВС} \) и \( N_{А1В1С1} \).

Теперь решим задачу пошагово.

Шаг 1: Найдем площадь треугольника \( АВС \).
Вычислим полупериметр \( p \):
\[ p = \frac{7 + 17 + 18}{2} = 21 \, \text{см} \]

Теперь используем формулу Герона для нахождения площади треугольника \( АВС \):
\[ Площадь_{АВС} = \sqrt{21 \cdot (21 - 7) \cdot (21 - 17) \cdot (21 - 18)} = 42 \, \text{см}^2 \]

Шаг 2: Найдем косинус угла между плоскостями.

Для этого нам сначала нужно найти нормали к плоскостям треугольников \( АВС \) и \( А1В1С1 \). Нормальный вектор к плоскости можно получить путем взятия векторного произведения сторон плоскости:

Нормальный вектор плоскости треугольника \( АВС \):
\[ N_{АВС} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \]

Нормальный вектор плоскости треугольника \( А1В1С1 \):
\[ N_{А1В1С1} = \overrightarrow{A1B1} \times \overrightarrow{A1C1} \]

Здесь \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{A1B1}\) и \(\overrightarrow{A1C1}\) - векторные прочерки, их можно выразить через точки треугольников.

После нахождения нормалей плоскостей \( АВС \) и \( А1В1С1 \), мы можем найти векторное произведение \( N_{АВС} \) и \( N_{А1В1С1} \).

После нахождения векторного произведения, мы можем найти косинус угла между плоскостями:
\[ \cos(Угол) = \frac{N_{заданной}}{N_{АВС} \cdot N_{А1В1С1}} \]

Шаг 3: Найти площадь треугольника \( А1В1С1 \) используя полученные значения:
\[ Площадь_{А1В1С1} = Площадь_{АВС} \times \cos^2(Угол) \]

Применяя все вышеперечисленные шаги к задаче, можно получить искомые значения.