Яка площа поверхні утворена обертанням трикутника зі сторонами 30, 40 і 50 навколо його більшої сторони?
Bublik
Чтобы найти площадь поверхности, образованную вращением треугольника вокруг его большей стороны, мы можем использовать формулу для площади поверхности вращения. Формула для площади поверхности вращения, образованной вращением кривой \(f(x)\) вокруг оси \(x\) на отрезке \([a, b]\), равна:
\[S = 2\pi \int_{a}^{b} f(x) \sqrt{1 + \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2} dx\]
В нашем случае, треугольник имеет стороны длиной 30, 40 и 50. Давайте обозначим эти стороны \(a\), \(b\) и \(c\) соответственно. Большая сторона - это сторона \(c\), равная 50.
Так как данный треугольник — прямоугольный треугольник (со сторонами 30, 40 и 50), мы можем использовать его гипотенузу в качестве оси вращения. Ось вращения будет проходить через середину гипотенузы.
Теперь давайте разделим данный треугольник на два прямоугольных треугольника, каждый из которых имеет катеты равные 30 и 40, а гипотенузой равной половине длины гипотенузы исходного треугольника. Таким образом, длина гипотенузы каждого из этих двух треугольников будет равна 25.
Теперь мы можем использовать формулу для площади поверхности вращения, чтобы найти площадь поверхности, образованную каждым из этих двух треугольников, и затем складываем результаты.
Первый треугольник:
Длина оси вращения: \(r = \dfrac{25}{2}\)
Функция, описывающая сторону треугольника: \(f(x) = \dfrac{4}{3}\sqrt{r^2 - x^2}\)
Производная: \(f"(x) = \dfrac{4}{3}\dfrac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}}\)
Подставляем значения в формулу площади поверхности вращения:
\[S_1 = 2\pi \int_{-\frac{1}{2}r}^{\frac{1}{2}r} \left(\dfrac{4}{3}\sqrt{r^2 - x^2}\right) \sqrt{1 + \left(\dfrac{4}{3}\dfrac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}}\right)^2} dx\]
\[S_1 = \dfrac{4\pi}{3} \int_{-\frac{1}{2}r}^{\frac{1}{2}r} \left(\dfrac{4}{3}\sqrt{r^2 - x^2}\right) \sqrt{1 + \dfrac{16x^2}{9(r^2 - x^2)}} dx\]
\[S_1 = \dfrac{4\pi}{3} \int_{-\frac{1}{2}r}^{\frac{1}{2}r} \left(\dfrac{4}{3}\sqrt{r^2 - x^2}\right) \sqrt{\dfrac{9(r^2 - x^2) + 16x^2}{9(r^2 - x^2)}} dx\]
\[S_1 = \dfrac{4\pi}{3} \int_{-\frac{1}{2}r}^{\frac{1}{2}r} \sqrt{\dfrac{4(5r^2 - 9x^2)}{3}} dx\]
Вычислим данную интеграл:
\[S_1 = \dfrac{4\pi}{3} \cdot \left[\dfrac{1}{2}(5r^2 - 9x^2)\sqrt{\dfrac{4(5r^2 - 9x^2)}{3}} + \dfrac{45}{18}\sqrt{\dfrac{(5r^2 - 9x^2)^3}{3^3}}\right]_{-\frac{1}{2}r}^{\frac{1}{2}r}\]
\[S_1 = \dfrac{4\pi}{6} \cdot \left( \left[(5r^2 - 9x^2)\sqrt{\dfrac{4(5r^2 - 9x^2)}{3}}\right]_{-\frac{1}{2}r}^{\frac{1}{2}r} + \left[\dfrac{15}{9}\sqrt{\dfrac{(5r^2 - 9x^2)^3}{3^3}}\right]_{-\frac{1}{2}r}^{\frac{1}{2}r}\right)\]
\[S_1 = \dfrac{2\pi}{3} \cdot \left((5r^2 - 9x^2)\sqrt{\dfrac{20}{3}} + \dfrac{15}{9}\sqrt{\dfrac{(5r^2 - 9x^2)^3}{27}}\right)_{-\frac{1}{2}r}^{\frac{1}{2}r}\]
Подставляем значения \(r = \dfrac{25}{2}\) и простроим границы интеграла:
\[S_1 = \dfrac{2\pi}{3} \cdot \left((5\left(\dfrac{25}{2}\right)^2 - 9x^2)\sqrt{\dfrac{20}{3}} + \dfrac{15}{9}\sqrt{\dfrac{(5\left(\dfrac{25}{2}\right)^2 - 9x^2)^3}{27}}\right)_{-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{25}{2}\right)}^{\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{25}{2}\right)}\]
\[S_1 = \dfrac{2\pi}{3} \cdot \left((5\left(\dfrac{25}{2}\right)^2 - 9x^2)\sqrt{\dfrac{20}{3}}\right)_{-\dfrac{25}{4}}^{\dfrac{25}{4}}\]
\[S_1 = \dfrac{2\pi}{3} \cdot \left((5\left(\dfrac{25}{2}\right)^2 - 9\left(\dfrac{25}{2}\right)^2)\sqrt{\dfrac{20}{3}}\right)\]
\[S_1 = \dfrac{2\pi}{3} \cdot \left((\dfrac{625}{2} - \dfrac{225}{2})\sqrt{\dfrac{20}{3}}\right)\]
\[S_1 = \dfrac{2\pi}{3} \cdot \left(\dfrac{400}{2}\sqrt{\dfrac{20}{3}}\right)\]
\[S_1 = \dfrac{2\pi}{3} \cdot 200\sqrt{\dfrac{20}{3}}\]
\[S_1 = \dfrac{400\pi}{3}\sqrt{\dfrac{20}{3}}\]
Второй треугольник:
Площадь поверхности вращения, образованная вторым треугольником, будет равной площади поверхности вращения, образованной первым треугольником, так как она симметрична исходному треугольнику.
\[S_2 = S_1 = \dfrac{400\pi}{3}\sqrt{\dfrac{20}{3}}\]
Итак, общая площадь поверхности, образованной вращением треугольника с сторонами 30, 40 и 50 вокруг его большей стороны, будет равна сумме площадей поверхностей, образованных каждым из двух прямоугольных треугольников:
\[S = S_1 + S_2 = \dfrac{400\pi}{3}\sqrt{\dfrac{20}{3}} + \dfrac{400\pi}{3}\sqrt{\dfrac{20}{3}}\]
\[S = \dfrac{800\pi}{3}\sqrt{\dfrac{20}{3}}\]
Таким образом, площадь поверхности, образованной вращением треугольника с сторонами 30, 40 и 50 вокруг его большей стороны, равна \(\dfrac{800\pi}{3}\sqrt{\dfrac{20}{3}}\) квадратных единиц.
\[S = 2\pi \int_{a}^{b} f(x) \sqrt{1 + \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2} dx\]
В нашем случае, треугольник имеет стороны длиной 30, 40 и 50. Давайте обозначим эти стороны \(a\), \(b\) и \(c\) соответственно. Большая сторона - это сторона \(c\), равная 50.
Так как данный треугольник — прямоугольный треугольник (со сторонами 30, 40 и 50), мы можем использовать его гипотенузу в качестве оси вращения. Ось вращения будет проходить через середину гипотенузы.
Теперь давайте разделим данный треугольник на два прямоугольных треугольника, каждый из которых имеет катеты равные 30 и 40, а гипотенузой равной половине длины гипотенузы исходного треугольника. Таким образом, длина гипотенузы каждого из этих двух треугольников будет равна 25.
Теперь мы можем использовать формулу для площади поверхности вращения, чтобы найти площадь поверхности, образованную каждым из этих двух треугольников, и затем складываем результаты.
Первый треугольник:
Длина оси вращения: \(r = \dfrac{25}{2}\)
Функция, описывающая сторону треугольника: \(f(x) = \dfrac{4}{3}\sqrt{r^2 - x^2}\)
Производная: \(f"(x) = \dfrac{4}{3}\dfrac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}}\)
Подставляем значения в формулу площади поверхности вращения:
\[S_1 = 2\pi \int_{-\frac{1}{2}r}^{\frac{1}{2}r} \left(\dfrac{4}{3}\sqrt{r^2 - x^2}\right) \sqrt{1 + \left(\dfrac{4}{3}\dfrac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2}}\right)^2} dx\]
\[S_1 = \dfrac{4\pi}{3} \int_{-\frac{1}{2}r}^{\frac{1}{2}r} \left(\dfrac{4}{3}\sqrt{r^2 - x^2}\right) \sqrt{1 + \dfrac{16x^2}{9(r^2 - x^2)}} dx\]
\[S_1 = \dfrac{4\pi}{3} \int_{-\frac{1}{2}r}^{\frac{1}{2}r} \left(\dfrac{4}{3}\sqrt{r^2 - x^2}\right) \sqrt{\dfrac{9(r^2 - x^2) + 16x^2}{9(r^2 - x^2)}} dx\]
\[S_1 = \dfrac{4\pi}{3} \int_{-\frac{1}{2}r}^{\frac{1}{2}r} \sqrt{\dfrac{4(5r^2 - 9x^2)}{3}} dx\]
Вычислим данную интеграл:
\[S_1 = \dfrac{4\pi}{3} \cdot \left[\dfrac{1}{2}(5r^2 - 9x^2)\sqrt{\dfrac{4(5r^2 - 9x^2)}{3}} + \dfrac{45}{18}\sqrt{\dfrac{(5r^2 - 9x^2)^3}{3^3}}\right]_{-\frac{1}{2}r}^{\frac{1}{2}r}\]
\[S_1 = \dfrac{4\pi}{6} \cdot \left( \left[(5r^2 - 9x^2)\sqrt{\dfrac{4(5r^2 - 9x^2)}{3}}\right]_{-\frac{1}{2}r}^{\frac{1}{2}r} + \left[\dfrac{15}{9}\sqrt{\dfrac{(5r^2 - 9x^2)^3}{3^3}}\right]_{-\frac{1}{2}r}^{\frac{1}{2}r}\right)\]
\[S_1 = \dfrac{2\pi}{3} \cdot \left((5r^2 - 9x^2)\sqrt{\dfrac{20}{3}} + \dfrac{15}{9}\sqrt{\dfrac{(5r^2 - 9x^2)^3}{27}}\right)_{-\frac{1}{2}r}^{\frac{1}{2}r}\]
Подставляем значения \(r = \dfrac{25}{2}\) и простроим границы интеграла:
\[S_1 = \dfrac{2\pi}{3} \cdot \left((5\left(\dfrac{25}{2}\right)^2 - 9x^2)\sqrt{\dfrac{20}{3}} + \dfrac{15}{9}\sqrt{\dfrac{(5\left(\dfrac{25}{2}\right)^2 - 9x^2)^3}{27}}\right)_{-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{25}{2}\right)}^{\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{25}{2}\right)}\]
\[S_1 = \dfrac{2\pi}{3} \cdot \left((5\left(\dfrac{25}{2}\right)^2 - 9x^2)\sqrt{\dfrac{20}{3}}\right)_{-\dfrac{25}{4}}^{\dfrac{25}{4}}\]
\[S_1 = \dfrac{2\pi}{3} \cdot \left((5\left(\dfrac{25}{2}\right)^2 - 9\left(\dfrac{25}{2}\right)^2)\sqrt{\dfrac{20}{3}}\right)\]
\[S_1 = \dfrac{2\pi}{3} \cdot \left((\dfrac{625}{2} - \dfrac{225}{2})\sqrt{\dfrac{20}{3}}\right)\]
\[S_1 = \dfrac{2\pi}{3} \cdot \left(\dfrac{400}{2}\sqrt{\dfrac{20}{3}}\right)\]
\[S_1 = \dfrac{2\pi}{3} \cdot 200\sqrt{\dfrac{20}{3}}\]
\[S_1 = \dfrac{400\pi}{3}\sqrt{\dfrac{20}{3}}\]
Второй треугольник:
Площадь поверхности вращения, образованная вторым треугольником, будет равной площади поверхности вращения, образованной первым треугольником, так как она симметрична исходному треугольнику.
\[S_2 = S_1 = \dfrac{400\pi}{3}\sqrt{\dfrac{20}{3}}\]
Итак, общая площадь поверхности, образованной вращением треугольника с сторонами 30, 40 и 50 вокруг его большей стороны, будет равна сумме площадей поверхностей, образованных каждым из двух прямоугольных треугольников:
\[S = S_1 + S_2 = \dfrac{400\pi}{3}\sqrt{\dfrac{20}{3}} + \dfrac{400\pi}{3}\sqrt{\dfrac{20}{3}}\]
\[S = \dfrac{800\pi}{3}\sqrt{\dfrac{20}{3}}\]
Таким образом, площадь поверхности, образованной вращением треугольника с сторонами 30, 40 и 50 вокруг его большей стороны, равна \(\dfrac{800\pi}{3}\sqrt{\dfrac{20}{3}}\) квадратных единиц.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
