а) Можно ли найти прямоугольник со сторонами, сумма которых равна 8 и площадью 2? б) Существует ли прямоугольник

а) Для решения данной задачи нам необходимо найти такие стороны прямоугольника, чтобы их сумма была равна 8, а площадь равна 2. Обозначим длины сторон прямоугольника через \(a\) и \(b\).

Первое условие говорит нам, что \(a + b = 8\). Из этого уравнения можно выразить одну из переменных через другую, например, \(a = 8 - b\).

Второе условие говорит нам, что площадь прямоугольника равна 2. Формула для площади прямоугольника: \(S = a \cdot b\). Подставим выражение для \(a\) в это уравнение:
\[2 = (8-b) \cdot b\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое мы можем решить. Распространим уравнение и приведем его к квадратному виду:
\[2 = 8b - b^2\]
\[b^2 - 8b + 2 = 0\]

Для решения этого квадратного уравнения мы можем использовать формулу дискриминанта. Формула дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 1\), \(b = -8\) и \(c = 2\).

Вычислим дискриминант:
\[D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 64 - 8 = 56\]

Из формулы дискриминанта мы можем узнать, сколько корней имеет уравнение. Если дискриминант положителен (\(D > 0\)), то у уравнения два различных корня. Если дискриминант равен нулю (\(D = 0\)), то у уравнения один корень. Если дискриминант отрицателен (\(D < 0\)), то у уравнения нет корней.

В нашем случае, так как \(D = 56\) (положительное число), то у уравнения есть два различных корня. Давайте найдем эти корни при помощи формулы квадратного уравнения:
\[b = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]
\[b = \frac{8 \pm \sqrt{56}}{2}\]

Теперь, найдя значения \(b\), мы можем найти значения соответствующих сторон \(a\), используя первое уравнение \(a = 8 - b\).

Вычисляя значения, получаем:
\[b_1 = \frac{8 + \sqrt{56}}{2} \approx 7.37\]
\[a_1 = 8 - b_1 \approx 0.63\]
или
\[b_2 = \frac{8 - \sqrt{56}}{2} \approx 0.63\]
\[a_2 = 8 - b_2 \approx 7.37\]

Округлив значения до двух знаков после запятой, получаем два возможных прямоугольника:
1) Прямоугольник со сторонами, равными приближенным значениям \(a_1\) и \(b_1\): \(a \approx 0.63\) и \(b \approx 7.37\).
2) Прямоугольник со сторонами, равными приближенным значениям \(a_2\) и \(b_2\): \(a \approx 7.37\) и \(b \approx 0.63\).

Оба прямоугольника удовлетворяют условию задачи, так как их сумма сторон равна 8 и площадь равна 2.

б) Для второй задачи нам нужно определить, существует ли прямоугольник с общей длиной всех сторон, равной 14, и площадью, равной \(S\).

Обозначим длины сторон прямоугольника через \(a\) и \(b\). У нас есть два условия: \(2a + 2b = 14\) (общая длина всех сторон равна 14) и \(ab = S\) (площадь прямоугольника равна \(S\)).

Первое условие можно переписать в виде: \(a + b = \frac{14}{2}\), то есть \(a + b = 7\).

Далее мы можем выразить одну из переменных из первого уравнения. Допустим, мы выразим \(a\) через \(b\), получаем \(a = 7 - b\).

Подставим это значение \(a\) во второе уравнение, получим: \((7-b)b = S\).

Теперь мы имеем квадратное уравнение: \(b^2 - 7b + S = 0\).

Чтобы определить, существует ли прямоугольник, мы должны рассмотреть, при каких значениях \(b\) это квадратное уравнение имеет решения.

Заметим, что исходное уравнение с похожими условиями было решено в первой задаче. Однако значение площади не указано. Поэтому мы не можем дать окончательный ответ на этот вопрос без значения площади \(S\).

Если бы нам было дано значение площади, мы могли бы использовать формулу дискриминанта и дальнейшие вычисления для определения, существует ли прямоугольник с заданными параметрами. Но в данном случае нам не хватает информации для окончательного ответа.